人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例1.2.1 精讲优练课型 .ppt

1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例—— 距离问题 【知识提炼】 基线的概念与选择原则 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确 定的线段叫做基线. 2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要 选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般 来说，基线_____，测量的精确度越高. 越长 【即时小测】 1.思考下列问题： (1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个 内角能解出三角形的边长吗？ 提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形 的一条边的长. (2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用 正、余弦定理求出两点间的距离. 2.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数 据，较适宜的是(  ) A.a和c   B.c和b   C.c和β   D.b和α 【解析】选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准 基线，在本题中AC可看作基线，在△ABC中，能够测量 到的边角为b，α. 3.设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离， 测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距 离是100m，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A，B两点的 距离为(  ) A.40m  B.50m  C.60m  D.70m 【解析】选B.如图所示，△ABC是直角三角形，AB= AC， 所以AB=50m. 4.如图，A，N两点之间的距离为__________. 【解析】因为M=120°，∠MAN=30°，所以∠MNA=30°， 所以MN=MA=40， 由余弦定理得AN2=402+402-2×40×40cos120°=4 800， 解得AN=40 . 答案：40 【知识探究】 知识点 距离问题 观察图形，回答下列问题： 问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时， 利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题， 利用余弦定理求解需要哪些条件？ 【总结提升】 1.测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距 离. (2)测量两个不可到达点之间的距离. 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种 情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化 为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问 题(如图2). 2.解与三角形有关的应用题的基本思路 【题型探究】 类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的 距离 【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C 岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离 为(  ) A.2    B.6    C.2    D.4 2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该 河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A ，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且 AB=100m.求B，C两点间的距离. 【解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定 理解决？ 提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理 可求解. 2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解. 【解析】1.选B.如图所示， 由题意知∠C=45°，由正弦定理得 所以 2.因为∠CAB=75°，∠CBA=45°， 所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°. 由正弦定理，得 所以BC= 又因为sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45° 所以BC= (m). 即B，C两点间的距离为 m. 【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽. 【解析】过点C作CD垂直于AB，垂足为点D，则CD的长就 是该河段的宽度. 在Rt△BDC中，因为∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD= 所以 所以该河段的宽度为 m. 【方法技巧】求距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知， 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理. 【变式训练】如图所示，为了测量水田的宽度，某观 测者在A的同侧选定一点C，测得AC=8m，∠BAC=30°， ∠BCA=45°，则水田的宽度为__________. 【解析】方法一：过点B作BD⊥AC，在Rt△BDA及 Rt△BDC中 又AC=AD+CD= =8， 所以BD= 方法二：过点B作BD⊥AC，根据正弦定理得 所以AB= 所以BD=ABsin30°= ×8( -1)=4( -1)(m). 答案：4( -1)m 【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向， 后来船沿南偏东60°方向航行30n mile后，看见灯塔 在正西方向，则这时船与灯塔的距离为______n mile. 【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°， 则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°= 15 (n mile)， AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(n mile)，则在Rt△ADB 中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5 (n mile)，则 BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile). 答案：10 类型二 测量两个不可到达的点之间的距离 【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一 条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上 的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC= ， ∠BAD= ，AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧 道CD的长为______米. 2.如图，现要计算北江岸边两景点B与C的 距离.由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km， ∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离.(假 设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参 考数据： ≈1.414) 【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的 距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求 出BC. 【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= ，所 以△ABC为等边三角形，∠BAC= ，AC=AB=BC=400，又 ∠BAD= ，故∠CAD= ，所以在△ACD中，由余弦定 理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502- 2×400×250cos =122500，所以CD=350米. 答案：350 2.在△ABD中，设BD=x， 则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA， 即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0. 解得x1=16，x2=-6(舍去). 在△BCD中，由正弦定理，得 所以BC= ·sin30°=8 ≈11(km). 【延伸探究】 1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC= ”改为 “∠ABC= ”，其他条件不变，那么隧道CD的长又该 是多少？ 【解析】如图： 由题意，易得∠DAC= ， AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos =4002+4002-2×4002× =4002(2- ). CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos =2502+4002×(2- )-2×250×400×( -1)× =482 500-260 000 ，所以CD≈179米. 2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦 值. 【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= 所以△ABC为等边三角形，∠BAC= 又∠BAD= 故 ∠CAD= 所以在△ACD中，由余弦定理得， CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=4002+2502- 2×400×250×cos =122500，所以CD=350米. cos∠ADC= 【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及 关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余 弦定理解斜三角形是一个重要的方法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角， 用正、余弦定理进行计算. 【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点， 两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为 正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与 目标的距离是(  ) A.1.1km   B.2.2km   C.2.9km   D.3.5km 【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°. 在△BCD中，由正弦定理，得BD= 在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°， 由余弦定理，得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105° 所以AB= ≈2.9(km). 所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km. 巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用 【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红 方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事 基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处， 且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°， ∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离 为__________. 【常规解法】由题意知∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°， 又因为∠ACD=60°，所以∠DAC=60°. 所以AD=CD=AC= 在△BCD中，∠DBC=180°-30°-105°=45°， 由正弦定理得 所以BD= 在△ADB中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB 所以AB= a. 答案： a 【巧妙解法】在△BCD中，∠CBD=180°-30°- 105°=45°， 由正弦定理得 则BC= 在△ACD中，∠CAD=180°-60°-60°=60°， 所以△ACD为等边三角形. 因为∠ADB=∠BDC， 所以BD为正△ACD的中垂线， 所以AB=BC= a. 答案： a 【方法指导】 1.寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形， 如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊 图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的 解决更加简洁. 2.正确运用定理 明确正、余弦定理的实质和定理的内容形式，根据条 件正确选用定理及公式.同时：注意将三角形内角和定 理、诱导公式及两角和(或差)的正余弦公式结合起来 求值.