人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例1.2.1 探究导学课型 .ppt

1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 ——距离问题 一、测量两点间的距离问题 探究1：结合图①探究下面的问题 (1)A，B两点之间不可到达，在点A的一侧，需要测出哪些量， 可以求A，B两点的距离？ 提示：测量者在点A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离，∠BAC的大小，∠ACB的大小三个量. (2)根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？ 提示：根据测量出的两个角一个边，然后根据三角形的内角和 定理很容易通过两个已知角算出边AC的对角，再应用正弦定理 算出边AB.因此运用正弦定理比较恰当. 探究2：结合图②探究下面的问题 (1)A，B两点都在河的对岸，不可到达， 结合图象，需要测出哪些量，可以求出 A，B两点间的距离？ 提示：结合图象，需要测出CD的长，∠BCD的大小，∠BDC的大 小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB 的长.故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小. (2)分析求解过程中主要利用了哪些定理？ 提示：主要应用了正弦定理和余弦定理. 【探究总结】对测量不可到达两种距离的说明 (1)测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离问题， 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到 运用正弦定理去解决的方法. (2)测量两个不可到达点之间的距离问题，一般是把求距离问 题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知 的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题， 然后运用正弦定理解决. 二、航行中的距离问题 探究1：根据方向角的含义完成下列填空，明确方向角的表示 方法 (1)如图所示，图①的m°角描述为    . ① (2)如图②的n°角描述为    . ② 答案：(1)北偏西m° (2)南偏东n° 探究2：根据方位角的定义完成下面的填空，明确方位角的表 示方法 如图 图③的方位角为    ；图④的方位角为    . 答案：130° 200° 【探究总结】对方向角、方位角的两点说明 (1)方向角指的是四正(正北、正南、正东、正西)方向线与目 标方向线所成角；方位角指的是从指北方向顺时针转到目标方 向线的水平角. (2)表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的说法，如方 位角120°也可以说成“南偏东60°”，方位角270°也可称“正 西方向”，方位角45°也可称“东北方向”等. 【拓展延伸】解三角形应用题的两种情况 (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦 定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或多个三角形，这时需要选择条 件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题 的解. 类型一 测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间的距离  1.(2014·四川高考)如图，从气球A上 测得正前方的河流的两岸B，C的俯角 分别为75°，30°，此时气球的高是 60m，则河流的宽度BC等于(  ) A.240( -1)m      B.180( -1)m C.120( -1)m D.30( +1)m 2.如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B，望对岸岸 边的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河 的宽度是   m. 【解题指南】1.先求AC，再由正弦定理求BC即可. 2.利用三角形内角和定理，三角形为等腰三角形，求出一边再 求河宽. 【自主解答】1.选C.设气球的高度为AD，交CB延长线于点D， 在Rt△ACD中，AC=120m， 在△ABC中，由正弦定理知，BC= ·sin∠BAC= ·sin45°= =120( -1)(m). 2.作CD⊥AB，垂足为D. 因为∠ACB=180°-30°-75°=75°=∠ABC， 所以AB=AC=120m， 因为∠CAD=30°， 所以在Rt△CDA中， CD=ACsin30°=120×sin30°=60(m). 答案：60 【规律总结】测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间距 离的技巧 如图所示，A可到达，B不可到达，欲求AB，可在A的同侧选一 点C，测出AC的长及∠BAC与∠ACB的大小，然后用正弦定理求 解. 【变式训练】如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者 在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB= 45°，∠CAB=105°，求A，B两点的距离. 【解析】由三角形内角和定理知∠B=180°-∠C-∠A=180°- 45°-105°=30°， 在△ABC中，由正弦定理得 故AB= 类型二 测量两个不可到达的点之间的距离  1.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所 在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC= ∠BAD= AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧道CD 的长为    米. 2.如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC =30°，∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A， B之间的距离. 【解题指南】1.测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题求解. 2.要求出A，B之间的距离，可以在△ABC(或△ADB)中去找关系， 求出有关量的值，然后解三角形可得. 【自主解答】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= 所以 △ABC为等边三角形，∠BAC= 又∠BAD= 故∠CAD= 所以在△ACD中，由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD =4002+2502-2×400×250×cos =122500，所以CD=350(米). 答案：350 2.在△ACD中，因为∠ADC=30°，∠ACD=120°， 所以∠CAD=30°.所以AC=CD= km. 在△BDC中，∠CBD=180°-45°-75°=60°， 由正弦定理，可得BC= 由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA， 所以AB2= 所以AB= (km). 故两目标A，B间的距离为 km. 【规律总结】1.测量不可到达的两点之间距离的技巧 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为利用正、余弦 定理求三角形的边长问题，之后再转化成一个可到达点到另一 个不可到达点的距离的问题. 2.测量不可到达的两点之间的距离问题的关键 (1)选取的基线既易于测量，又简单恰当. (2)要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高 的精确度. 【拓展延伸】解决有关距离问题的思路 解决有关距离问题的方法是建立数学模型，即构造三角形，转 化为解三角形问题.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一 个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而 得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理， 使解题过程简捷. 【变式训练】某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如 图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57cm，CE= 3.57cm，BD=4.38cm，B=45°，C=120°.为了复原，请计算 原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm). 【解析】将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中， BC=2.57 cm，B=45°，C=120°， A=180°-(B+C) =180°-(45°+120°)=15°. 因为 所以AC= 利用计算器算得AC≈7.02cm. 同理，AB≈8.60cm. 故原玉佩两边的长分别约为7.02cm、8.60cm. 类型三 航行中的距离问题  1.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北 偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为    km. 2.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个 观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘 轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 海 里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时， 该救援船到达D点至少需要多长时间？ 【解题指南】1.由题意画出示意图，然后利用正弦定理即可求 出船与灯塔的距离. 2.(1)已知速度，要求时间，只要求出路程，即CD的长即可. (2)观察CD所在的三角形，有△ADC和△BDC，确定用△BDC来求 CD. (3)在△BDC中，找出已知量，确定是用正弦定理还是用余弦定 理求解. 【自主解答】 1.如图所示，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°， ∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得 解得BM= (km). 答案： 2.由题意知AB=5(3+ )海里， 因为∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°， 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°， 在△ADB中，由正弦定理得 所以DB= = (海里)， 又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°， BC= 海里， 所以在△DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC =300+1200-2× =900， 所以CD=30(海里)， 所以需要的时间t= =1(小时)， 即救援船到达D点至少需要1小时. 【延伸探究】题2中若不知救援船的速度，其他条件不变，要 求救援船必须在40分钟内到达，则救援船的最小速度为多少？ 【解析】设救援船的速度为v海里/小时，由题2解析可求得 CD=30海里，由 得v≥45. 即救援船的最小速度为45海里/小时. 【规律总结】 1.航行问题的解题技巧 (1)在航行等问题中，通常是把方位角(方向角)与几何图形结 合起来，求出几何图形的有关角. (2)几何图形的应用是解答实际问题的重要辅助手段，一是从 图形的完整性方面画出图形；二是把多边形向三角形转化. 2.解斜三角形应用题的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实 际问题的解. 【变式训练】如图，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行， 航行的方位角∠NBC=140°，A处有灯塔，方位角∠NBA=110°. 在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA=35°，由B到C需要航行半小 时，则C到灯塔A的距离是(  ) 【解析】选C.在△ABC中根据题意可得，∠ABC=30°， ∠ACB=75°，∠BAC=75°，BC=20km， 根据正弦定理得， 所以AC= ·sin∠ABC= ·sin30°. = (km)，故选C.