人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2　应用举例1.2.3 精讲优练课型 .ppt

第3课时 三角形中的几何计算 【知识提炼】 三角形面积的常用公式 (1)S= a·ha(ha表示a边上的高). (2)S= absinC= bcsinA= casinB. (3)S= r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 【即时小测】 1.思考下列问题: (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ 提示：适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立. (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗 ？ 提示：能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角， 再根据面积公式求解. 2.在△ABC中，∠A=45°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为 (  ) 【解析】选B.S△ABC= AB·ACsinA= 3.已知锐角△ABC的面积为3 ，BC=4，CA=3，则角C 的大小为(  ) A.75°  B.60°  C.45°  D.30° 【解析】选B.由 ×BC×ACsinC=3 ，得 ×4 ×3sinC= ，所以sinC= .所以C=60°或120°. 又△ABC是锐角三角形，所以C=60°. 4.边长为4的等边三角形的面积为__________. 【解析】S= ×4×4sin60°=4 . 答案：4 【知识探究】 知识点 三角形面积公式 观察图形，回答下列问题： 问题1：若AB=c，AC=b，BC=a，你发现△ABC的面积S可 以直接用a，b，c表示吗？ 问题2：运用三角形面积公式时应注意哪些问题？ 【总结提升】 1.运用三角形面积公式时应注意的问题 (1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数 的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、 余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式. (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和. 2.处理三角形问题时常用公式 (1)l=a+b+c(l为三角形的周长). (2)A+B+C=π. (3)S= aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高). (4)S= (R是三角形外接圆的半径). (5)S=2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径). (6)海伦公式：S= ，其中p= (a+b+c). 【题型探究】 类型一 与三角形面积有关的计算问题 【典例】1.(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为10 ，且AB=5，AC=8，则BC等于__________. 2.已知△ABC中，若cosB= ，C= ，BC=2，则△ABC的 面积为__________. 【解题探究】1.典例1中，由三角形的面积及AB，AC的 值可以求出何值？求BC的值采用哪个定理？ 提示：由三角形的面积及AB，AC的值可利用S△ABC= AB·AC·sinA=10 ，求出A.求BC的值可采用余弦 定理. 2.典例2中，求△ABC的面积的思路是什么？ 提示：解答本题可先求出sinA，再用正弦定理求出AB ，再利用S△ABC= ·BC·AB·sinB，求△ABC的面积. 【解析】1.由S△ABC= ×5×8×sinA=10 ， 得sinA= .因为A为锐角，所以A=60°， 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60° =25+64-2×5×8× =49. 所以BC=7. 答案：7 2.因为cosB= ，所以sinB= . sinA=sin(π-B-C)= =sin cosB-cos sinB 由正弦定理得 ，得AB= 所以S△ABC= ·BC·AB·sinB= ×2× 答案： 【延伸探究】 1.(改变问法)若典例2的条件不变，求△ABC的外接圆 的面积是多少？ 【解析】设△ABC的外接圆的半径为R， 由正弦定理可知 =2R， 由典例解析知AB= ，C= ，即 =2R，解得R= △ABC的外接圆的面积为S=πR2=( )2π= π. 2.(变换条件)若将典例2中条件“C= ，BC=2”变为 “cosA=- ，BC=5”，其他条件不变，试求△ABC的面 积. 【解析】由cosA=- ，得sinA= 由cosB= ，得sinB= 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得AC= 所以S△ABC= ·BC·AC·sinC= ×5× 【方法技巧】三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般用公式S= absinC= bcsinA= acsinB进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他 途径构造三角形，转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理 求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解. 【补偿训练】1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b=2，B= ，C= ，则△ABC的面积为(   ) 【解析】选B.因为B= ，C= ，所以A=π-B-C=π- - = 由正弦定理 ，得 即 ，所以c=2 . 所以S△ABC= bcsinA= ×2×2 sin 2.已知在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则AC边上的 高为__________. 【解析】设AC边上的高为h，由余弦定理知 cosB= 所以sinB= 所以S△ABC= 又S△ABC= ×4×h，所以2h= ，所以 答案： 类型二 与三角形中线段长度有关的计算问题 【典例】1.(2015·重庆高考)在△ABC中，B=120°， AB= ，A的角平分线AD= ，则AC=__________. 2.(2015·安徽高考)在△ABC中，A= ，AB=6，AC=3 ，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长. 【解题探究】1.典例1中，求AC长度的思路是什么？ 提示：首先根据正弦定理可求出∠BDA的大小，从而能 够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形，再利用 余弦定理可求出AC的值. 2.典例2中，求AD长度的思路是什么？ 提示：先用余弦定理求出BC的长，再利用余弦定理求 出AD的长. 【解析】1.在△ABD中，由正弦定理可知 即 所以sin∠BDA= ，即∠BDA=45°， 所以∠BAD=15°， 又因为AD为角A的平分线， 所以∠BAC=30°，∠BCA=30°，即AB=BC= ， 在△ABC中，由余弦定理可知 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+2-2× × × ( )=6， 所以AC= . 答案： 2.在△ABC中，由余弦定理得， BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC= 62+(3 )2-2×6×3 ×cos =90， 所以BC=3 ， 在△ABD中，设∠ADB=θ，则∠ADC=180°-θ， 设AD=x，则BD=x，DC=3 -x，由余弦定理得： AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosθ， 即36=2x2-2x2cosθ ① AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ)， 即18=x2+(3 -x)2+2x·(3 -x)·cosθ ② 由①②解得x= ，即AD= . 【方法技巧】三角形中几何计算问题的解题要点及关 键 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点， 善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形， 一般问题便能很快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐 蔽的几何条件. 【变式训练】如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D 在BC边上，且CD=2，cos∠ADC= . (1)求sin∠BAD. (2)求BD，AC的长. 【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC= ， 所以sin∠ADC= ， 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD= =3，所以BC=BD+CD=5. 在△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB =82+52-2×8×5× =49. 所以AC=7. 类型三 三角形中的综合问题 【典例】1.(2015·唐山高二检测)在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，且满足 则△ABC的面积为__________. 2.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c ，已知c=2，C= . (1)若△ABC的面积等于 ，求a，b. (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积. 【解题探究】1.典例1中，求三角形面积的关键是什么 ？ 提示：由条件 ，利用cosA=2cos2 -1求出 sinA的值. 2.典例2中，(1)中如何求a，b的值？(2)由条件sinC+sin (B-A)=2sin2A可得出怎样的结论？ 提示：(1)利用余弦定理得出a2+b2-ab=4，再由△ABC的 面积等于 ，得出ab=4，联立关于a，b的方程组，得 到a，b的值. (2)由sinC+sin(B-A)=2sin2A，结合两角和与差的正弦 公式及倍角公式，可得sinBcosA=2sinAcosA. 【解析】1.因为 ，所以cosA= 则sinA= .又由 =3，得bccosA=3，所以bc=5， 所以S△ABC= bcsinA=2. 答案：2 2.由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4. (1)因为△ABC的面积等于 ，所以 absinC= ，得 ab=4， 联立方程组 解得a=2，b=2. (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA， 即sinBcosA=2sinAcosA. 当cosA=0时， 当cosA≠0时，得sinB=2sinA， 由正弦定理得b=2a，联立方程组 解得 所以△ABC的面积S= absinC= 【方法技巧】解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定 理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一 起，要注意选择合适的方法、知识进行求解. (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识 综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“ 翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或 余弦定理求解. 【变式训练】a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C 的对边，向量p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA- cosA，1+sinA)，且p∥q，已知a= ，△ABC面积为 ，求b，c的大小. 【解题指南】由p∥q，根据共线向量基本定理即可求 得sin A= ，所以A=60°，根据△ABC的面积可求得 bc=6①，而由余弦定理便可得到b2+c2=13，联立①式即 可求出b，c. 【解析】因为p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA- cosA，1+sinA)，且p∥q， 所以(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA) =0 ，即4sin2A-3=0， 又A为锐角，则sinA= ，所以A=60°， 因为△ABC面积为 ，所以 bcsinA= ， 即bc=6①， 又a= ， 所以7=b2+c2-2bccosA，b2+c2=13②， ①②联立，解得 或 【补偿训练】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，且2b·cosA=c·cosA+a·cosC， (1)求A的大小. (2)若a= ，b+c=4，求△ABC的面积. 【解析】(1)由已知条件得 2cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB. 又因为sinB≠0，所以cosA= . 又因为角A为△ABC的内角，所以A=60°. (2)由余弦定理得 7=b2+c2-2bc·cos60° =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc， 将b+c=4代入，得bc=3. 故△ABC面积为S= bcsinA= . 规范解答 与三角形面积有关的综合问题 【典例】(12分)(2015·天津高考)在△ABC中，内角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3 ，b-c=2，cosA=- . (1)求a和sinC的值. (2)求cos( )的值. 【审题指导】 (1)要求a的值，只需要利用 bcsinA=3 求出bc的值， 然后与b-c=2联立求出b，c，再利用余弦定理求解；要 求sinC的值，只需要利用正弦定理 求解. (2)要求cos( )的值，只需要利用两角和的余弦 公式及倍角公式求解. 【规范解答】(1)在△ABC中，由cosA=- ， 得sinA= ，…1分 由 bcsinA=3 得bc=24 ………………………………………………………2分 又由b-c=2，解得b=6，c=4. ………………………………………………………3分 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 可得a=8. ………………………………………………………5分 由正弦定理得 得sinC= .………………………………………7分 (2)由(1)知cosA=- ，sinA= ， 所以cos2A=2cos2A-1=- ，…9分 所以sin2A=- ，……………………………10分 因此cos =cos2Acos -sin2Asin = .………………………………………12分 【题后悟道】 1.熟练掌握定理和公式 对正弦定理、余弦定理及三角公式要熟练掌握其形式 及特点，并结合条件确定边、角之间的关系.如本例中 求 的值，要联想到两角和的余弦公式及倍 角公式. 2.注意数学语言的规范应用 使用简洁、准确的数学语言描述解答过程，是解答得 分的根本保证，如本例中“由余弦定理a2=b2+c2- 2bccosA得a，由正弦定理得 得sinC”，将 正弦定理、余弦定理与已知条件结合列出对应表达式， 是解三角问题的规范格式.