人教版高中数学必修五同课异构课件：2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 精讲优练课型 .ppt

第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法  【知识提炼】 1.数列的概念 (1)数列：按照一定_____排列的一列数称为数列. (2)项：数列中的_________叫做这个数列的项，第1项 通常也叫做_____，排在第n位的数称作这个数列的___ ____，记作__. 顺序 每一个数 首项 第 n项 an (3)表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…， an，…，简记为{an}. 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个 数 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 有限 无限 分类标准 名称 含义 按项的变 化趋势 递增数列 从第__项起，每一项都_____ 它的前一项的数列 递减数列 从第__项起，每一项都_____ 它的前一项的数列 常数列 _________的数列 摆动数列 从第__项起，有些项_____它 的前一项，有些项_____它的 前一项的数列 2 大于 2 小于 各项相等 大于 小于 2 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与_____n之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式. 序号 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)所有自然数能构成数列吗？ 提示：能.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. (2)同一个数在数列中能重复出现？ 提示：能.数列中的数可以重复出现. 2.把五个自然数：①排成1，2，3，4，5；②排成5，4 ，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1， 4，5，那么可以叫做数列的个数为(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列. 3.已知数列 …，根据前三项给 出的规律，则实数对(a，b)可能是(  ) A.(19，3) B.(19，-3) C.( ) D.( ) 【解析】选C.由前三项可知，该数列的通项公式可能 为an= .所以 即 4.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15，则3(  ) A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项或第6项 【解析】选D.令an=3，即n2-8n+15=3，解得n=2或6，故 3是数列{an}中的第2项或第6项. 5.若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则 =_____. 【解析】因为an=3-2n，所以 答案： 【知识探究】 知识点1 数列的概念 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：数列定义中的关键词是什么？ 问题2：数列中an和{an}是否相同？ 【总结提升】对数列概念的三点说明 (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“ 一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些 数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的 位置. (2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的 一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次. (3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，… ，an，…；而an表示数列{an}中的第n项. 知识点2 数列的通项公式观察如图所示内容，回答下 列问题： 问题1：在上面的数列中，你能表示项an与项的序号n 之间的关系吗？ 问题2：任何数列都有通项公式吗？ 【总结提升】对数列的通项公式的四点说明 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的 有限子集为定义域的函数表达式，即an=f(n). (2)已知数列的通项公式，依次用1，2，3…去替代公 式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项 公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项. (3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项 公式.如精确到1，0.1，0.01，…的不足近似值排成数 列就不能用通项公式表示. (4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如 摆动数列：-1，1，-1，1，-1，1，…，通项公式可以 写成an=(-1)n，也可以写成an= 【题型探究】 类型一 数列的概念及分类       【典例】1.下列说法正确的是(  ) A.数列1，2，3，5，7可表示为{1，2，3，5，7} B.数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列 C.数列 的第k项是1+ D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 (  ) 【解题探究】1.典例1中处理数列的概念应注意哪些问 题？ 提示：数列不能用集合表示，数列中的项是有序的， 数列中的n∈N*. 2.典例2中，递增、递减数列的概念是什么？ 提示：在数列{an}中，若anan+1，则数列{an}是递减数列. 【解析】1.选C.{1，2，3，5，7}是一个集合，所以A 错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列{ } 的第k项是 C正确；而D中数列应表示为 {2(n-1)}. 2.选C.A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故 选C. 【方法技巧】处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列. 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察 数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷 数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性. 若满足anan+1 ，(n∈N*)则是递减数列；若满足an=an+1，(n∈N*)则是 常数列；若an与an+1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动 数列. 【变式训练】已知数列{ }，那么这个数列是 (  ) A.递增数列    B.递减数列 C.摆动数列    D.常数列 【解析】选A.因为an+1-an= >0,所以an+1>an，故该数列是递增数列. 【补偿训练】下列说法正确的是(  ) A.数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列 B.数列2，3，4，4可以记为{2，3，4} C.数列1， …可以记为{ } D.数列{2n+1}的第5项是10 【解析】选C.A.数列是有序的，B.数列与数集是两个 不同的概念，D.当n=5时，a5=2×5+1=11. 类型二 用观察法求数列的通项公式      【典例】1.(2015·郑州高二检测)观察以下公式 ①an= ②an=(-1)n ③an= 可以作为数列 ，0， ，0， ，0，…通项公式的是 _________. 2.写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是 下列各数. (1) (2)-1，3，-5，7，-9，… (3)a，b，a，b，a，b，… (4)9，99，999，9 999，… 【解题探究】1.典例1中，如何判断一个公式是否可以 作为一个数列的通项公式？ 提示：把n依次换为1，2，3，…进行验证，看是否与 数列中对应的项相同即可. 2.典例2(1)是带分数如何处理？ (2)中一负一正怎样处理？ (3)中数列可看成是哪两个数列对应项的和？ (4)中每一项加1会得到什么结果？再观察有何特点？ 提示：(1)把每一项分成整数和分数两部分. (2)一正一负可通过(-1)n来实现转换. (3)可看作是数列a，0，a，0，…与数列0，b，0，b， …对应项的和. (4)得到：10，100，1 000，…，可以写成10n的形式. 【解析】1.分别令n=1，2，3，…可以看出①③公式可 以作为已知数列的通项公式. 答案：①③ 2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4， …，恰好是序号n；分数部分分别为 …，与序 号n的关系是 ，所以这个数列的一个通项公式是an= (2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的 正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一 个通项公式为an=(-1)n(2n-1). (3)数列1，0，1，0，…的通项公式为 ，数列 0，1，0，1…的通项公式为 ，因此数列a，0， a，0…的通项公式为 ，数列0，b，0，b，… 的通项公式为 ，所以数列a，b，a，b，a，b， …的通项公式为an= (4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…， 此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为 an=10n-1. 【方法技巧】根据数列的前几项求通项公式的解题思 路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部 分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再 用(-1)n或(-1)n+1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形 式，或者利用周期函数，如三角函数等. 【变式训练】写出下列数列的一个通项公式： (1) (2) (3) (4)5，55，555，5 555，… 【解析】(1)分母依次是2，4，8，…即2n，而分子比 分母少1，所以通项公式为an= (2)将分母统一为2，分子恰为平方数，所以通项公式 为an= (3)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号. 奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子 都是3，分母依次是1，2，3，4，…正负号可以用 (-1)n调整. 由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成 an= (4)将数列各项写为 所以数列的通项公式为an= (10n-1). 【补偿训练】数列1， 的一个通项公式 为__________. 【解析】奇数项为正，偶数项为负，可由(-1)n-1来实 现，分子全为1，分母依次为20，21，22，23，…， 所以an= ，即an= 所以通项公式为an= 答案：an= 类型三 数列通项公式的简单应用    【典例】1.已知数列 则0.96是该数列 的(  ) A.第22项     B.第24项 C.第26项     D.第28项 2.已知数列{an}的通项公式为an= (1)写出数列的第4项和第6项. (2)试问 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是， 请说明理由. 【解题探究】1.典例1中如何判断给出的数值是该数列 的项？ 提示：先假定它是数列中的第n项，列方程求n，根据 n∈N*判断. 2.典例2中如何根据数列的通项公式求数列的项数或项 ？ 提示：已知数列的通项公式，只要将数列中的项或项 数代入通项公式，就可以求出项数或项. 【解析】1.选B.因为通项公式为an= ，则有 解得n=24. 2.(1)因为an= ，所以a4= a6= (2)令 则n2+3n-40=0，解得n=5或n=-8，注 意到n∈N*， 故将n=-8舍去，所以 是该数列的第5项. 【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2(2)中的“ ”变为“ ”，其他 条件不变，结果如何？ 【解析】令 ，则4n2+12n-27=0， 解得n= 或n=- ， 注意到n∈N*，所以 不是此数列中的项. 2.(改变问法)若典例2条件不变，试判断数列{an}的增 减性. 【解析】an+1-an= = 故an+1