3.1.2
复数的几何意义
主题一：复数的几何意义
【自主认知】
1.在什么条件下，复数z唯一确定？
提示：给出复数z的实部和虚部.
2.设复数z=a+bi(a，b∈R)，以z的实部和虚部组成一个有序实数对(a，
b)，那么复数z与有序实数对(a，b)之间是一个怎样的对应关系？
提示：一一对应关系.
3.有序实数对(a，b)的几何意义是什么？
提示：有序实数对(a，b)表示坐标平面内的点.
4.用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？
提示：有向线段的始点和终点.
5.在复平面内，复数z=a+bi(a，b∈R)用向量如何表示？
提示：以原点O为始点，点Z(a，b)为终点的向量.
➡根据以上探究过程，试着写出复平面的概念以及复数与点、向量
间的对应关系：
1.复平面的概念
(1)复平面：用___________来表示复数的平面.
(2)____叫做实轴，____叫做虚轴.
(3)实轴上的点都表示_____，虚轴上的点(除原点外)都表示_______.
直角坐标系
x轴 y轴
实数 纯虚数
2.复数与点、向量间的对应
(a,b)
【合作探究】
1.复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗
？
提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定
表示虚数.事实上，虚轴上的点(0，0)是原点，它表示实数0，虚轴上
的其他点都表示纯虚数.
2.用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线
段？
提示：以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.
3.复数与平面向量是什么关系？
提示：一一对应关系
【拓展延伸】复数的三角形式
(1)定义：复数z=a+bi(a，b∈R)表示成r(cosθ+isinθ)的形式叫复
数z的三角形式.即z=r(cosθ+isinθ)，其中θ为复数z的辐角.
(2)非零复数z辐角θ的多值性.以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射
线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角，因此复数z的辐角是
θ+2kπ(k∈Z).
(3)辐角主值表示法；用arg z表示复数z的辐角主值.
①定义：适合[0，2π)的角θ叫辐角主值，②唯一性：复数z的辐角
主值是确定的，唯一的.③z=0时，其辐角是任意的.
【过关小练】
1.已知复数z=i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A.(0，1) B.(1，0)
C.(0，0) D.(1，1)
【解析】选A.复数z=i的实部为0，虚部为1，所以对应点的坐标为(0
，1).
2.向量a=(1，-2)所对应的复数是( )
A.z=1+2i B.z=1-2i
C.z=-1+2i D.z=-2+i
【解析】选B.因为a=(1，-2)，所以复平面内对应的点为Z(1，-2)，
所以a对应的复数为z=1-2i.
主题二：复数的模
【自主认知】
1.设Z(a，b)，则向量 的模如何用a，b表示？
提示：
2.根据复数模的意义，考虑|a+bi|的计算公式是什么？
提示：|a+bi|=
3.向量 的模r与复数z=a+bi的模|z|有何关系？
提示：相等.即r=|z|=
➡根据以上探究过程，总结出复数模的定义以及计算公式：
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)模的定义：____________________________.
(2)复数z=a+bi(a，b∈R)模的计算：___________________.
【合作探究】
1.若|z|=1，|z|2i B.|2+3i|>|1-4i|
C.|2-i|>2i4 D.i2>-i
【解析】选C.因为两个虚数不能比较大小，因此排除选项A和D.
因为
所以|2+3i|2i4，选项C正确.
【归纳总结】
1.复数的模的两个关注点
(1)从几何意义上理解，复数的模表示点Z到原点的距离.
(2)模的计算公式：|a+bi|= ，求复数的模，关键是明确复数
的实部与虚部，将复数化为代数形式，然后根据公式求解.
2.复数z=a+bi(a，b∈R)、复平面上的点Z(a，b)与平面向量
三者之间的联系与区别
(1)联系：三者一一对应，是通过有序实数对在三者之间建立起一
一对应关系.因此三者都表示复数z，为了方便起见，把复数z=a+bi
(a，b∈R)说成点Z(a，b)或向量 .
(2)区别：主要是表达形式不同.
z=a+bi(a，b∈R)→从数的角度刻画复数，称为复数的代数形式.
点Z(a，b)→从形的角度刻画复数，称为复数的几何形式.向量
→从形的角度刻画复数，称为复数的向量形式.
类型一：复数与点的对应关系
【典例1】(1)若θ∈ 则复数z=(sinθ-cosθ)
+(sinθ+cosθ)i在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)求实数a分别取何值时，复数z= +(a2-2a-15)i(a∈R)对应
的点Z满足下列条件：
①在复平面的第二象限内.
②在复平面内的x轴上方.
【解题指南】(1)根据所给角θ的范围，确定复数z的实部与虚部的符
号.
(2)由z=a+bi(a，b∈R)与点Z(a，b)一一对应知第①问要求实部小于0
，虚部大于0；第②问要求虚部大于0.
【解析】(1)选D.sin θ-cos θ=
sin θ+cos θ=
因为
因此sin θ-cos θ＞0，sin θ+cos θ＜0，
所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.
(2)①点Z在复平面的第二象限内，
则 解得a＜-3.
②点Z在x轴上方，则
即(a+3)(a-5)＞0，
解得a＞5或a＜-3.
【延伸探究】
1.(改变问法)题(2)中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时实
数a的值.
【解析】点Z在x轴上，所以a2-2a-15=0，
所以a=5或a=-3.
当a=-3时， 无意义，故a=5时，点Z在x轴上.
2.(改变问法)题(2)中条件不变，如果点Z在直线x+y+7=0上，如何
求解？
【解析】因为点Z在直线x+y+7=0上，
所以 +a2-2a-15+7=0，
即a3+2a2-15a-30=0，
所以(a+2)(a2-15)=0，
故a=-2或a=± .
所以a=-2或a=± 时，点Z在直线x+y+7=0上.
【规律总结】复数与点的对应关系及应用
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的
横坐标，虚部就是该点的纵坐标.
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，
可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成
的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.
【补偿训练】当实数m分别为何值时，复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在
复平面内对应的点：
(1)位于第四象限？
(2)位于x轴的负半轴上？
(3)位于y轴的正半轴上？
【解题指南】复数a+bi(a，b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限
应满足a>0且b
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