3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几
何意义
主题一：复数的加法
【自主认知】
1.设向量 分别表示复数z1，z2，那么向量
表示的复数应该是什么？
提示： 表示的复数是z1+z2.
2.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为
那么向量 的坐标分别是什么？
提示： ＝(a，b)， ＝(c，d)， ＝(a＋c，b＋d).
➡根据以上探究过程，总结出复数加法的运算法则、运算律及其
几何意义：
1.复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=_____________(a，b，c，
d∈R).
2.复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，
交换律：z1+ z2= z2+ z1，
结合律：(z1+z2)+z3=__________.
(a+c)+(b+d)i
z1+(z2+z3)
3.复数加法的几何意义：复数z1+z2是以 为邻边的平行四边
形的__________所对应的复数.
【合作探究】
1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
提示：仍然是个复数，且是一个确定的复数.
2.复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？
提示：可以，这是复数加法的几何意义.
【过关小练】
1.复数z1=2- i，z2= -2i，则z1+z2等于( )
【解析】选C.z1+z2=
2.在复平面内，向量 对应的复数为3-4i，点B对应的复数为
-2+2i，则向量 对应的复数为( )
A.5-6i B.1-2i
C.-5+6i D.5-2i
【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知， 对应的复数
即为(3-4i)+(-2+2i)，即1-2i.
主题二：复数的减法
【自主认知】
1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=z1-z2，则复数z1等于
什么？
提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)，z=x+yi(x，y∈R)，
代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？
提示：x=a-c，y=b-d.
3.根据上述分析，设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)，则
z1-z2等于什么？
提示：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
➡根据以上探究过程，总结出复数减法的运算法则及其几何意义：
1.复数的减法法则：(a+bi)-(c+di)=_____________(a，b，c，
d∈R).
2.复数减法的几何意义：复数z1-z2是连接向量 的_____，
并指向_________的向量 所对应的复数.
(a-c)+(b-d)i
终点
被减向量
【合作探究】
1.设复数z1=a+bi，z2=c+di对应的向量分别为 则
①复数z1-z2对应的向量是什么？②|z1-z2|的几何意义是什么？
提示：①
②|z1-z2|表示复数z1，z2对应复平面内的两点Z1，Z2之间的距离.
2.设z1，z2均为复数，则当z1-z2>0时，是否一定有z1>z2？
提示：不一定.z1-z2>0只能说明z1-z2的结果是一个实数.而z1，z2
本身可能是虚数，不能比较大小.例如：z1=3+i，z2=1+i，虽有
z1-z2=2>0，但不能推出3+i>1+i.
【拓展延伸】复数模的不等式、恒等式
若z1，z2∈C，则有
(1)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量
同向时，右端等号成立；当z1，z2所对应的向量 反向时，左
端等号成立.
(2)||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量
同向时，左端等号成立；当z1，z2所对应的向量 反向时，右
端等号成立.
(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.
【过关小练】
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为( )
A.5-3i B.3+5i
C.7-8i D.7-2i
【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)
=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)
=5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i
=7-8i.
2.在复平面内，复数z=(1+2i)-(3-5i)所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.z=(1+2i)-(3-5i)=(1-3)+(2+5)i=-2+7i，故z所对应的
点为(-2，7)，在第二象限.
【归纳总结】
1.对复数加法的三点说明
(1)复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保
持一致.
(2)两个复数的和仍是一个复数.两个复数的和是以这两个复数的实部
之和为实部，两个复数的虚部之和为虚部的复数.
(3)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何
意义.
2.对复数减法的三点说明
(1)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，两个复数的差仍是一个复数.两个
复数的差是以这两个复数的实部之差为实部，两个复数的虚部之差为
虚部的复数.
(2)设复数z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2=(a±c)+(b±d)i，类似于把i
看成未知数的多项式加减法中的合并同类项.
(3)两个复数的和差仍然是个确定的复数，实数中加法运算的交换律
和结合律在复数中仍然适用.
类型一：复数代数形式的加、减运算
【典例1】(1)计算(3+i)-(2+i)的结果为( )
A.1 B.-i C.5+2i D.1-i
(2)计算：
①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i).
②-i-[(3-4i)-(-1-3i)].
③(x+yi)-(3x-2yi)-4i(x，y∈R).
【解题指南】(1)把括号去掉，实部与虚部分别计算.
(2)两个复数相加(减)，将这两个复数的实部与实部相加(减)，虚部
与虚部相加(减)，所得的结果分别作为和(差)的实部和虚部.
【解析】(1)选A.(3+i)-(2+i)=1.
(2)①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i)
=(2+1-5)+(2-4-7)i=-2-9i.
②-i-[(3-4i)-(-1-3i)]=-i-(4-i)=-4.
③(x+yi)-(3x-2yi)-4i
=(x-3x)+(y+2y-4)i
=-2x+(3y-4)i(x，y∈R).
【规律总结】复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚
部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取
复数的实部与虚部.
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部
与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无
括号，可以从左到右依次进行计算.
【巩固训练】计算：(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i).
(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i).
(3)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
(4)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a，b∈R).
【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.
(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.
(3)原式=5i-(4+i)=-4+4i.
(4)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
【补偿训练】1.若复数z满足z+2-3i=-1+5i，则复数z=( )
A.3-8i B.-3-8i
C.3+8i D.-3+8i
【解析】选D.由z+2-3i=-1+5i，得z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i.
2.设z1=x+2i，z2=3-yi(x，y∈R)，且z1+z2=5-6i，则z1-z2= .
【解析】因为z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i，
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i，
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案：-1+10i
类型二：复数加减运算的几何意义
【典例2】(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
若向量 对应的复数分别是3+i，-1+3i，则 对应的复数
是( )
A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i
(2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i，4-4i，2+6i.求第四
个顶点对应的复数.
【解题指南】(1)根据复数与向量的对应关系转化为向量的减法求解.
(2)根据题设条件可知，第四个顶点有3种不同情况，然后分情况利用
复数加减法求解.
【解析】(1)选D.由于 所以 对应的复数为
(3+i)-(-1+3i)=4-2i.
(2)如图，设这个平行四边形已知的三个顶点
分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1=
2i，z2=4-4i，z3=2+6i，第四个顶点所对应的
复数为z4，则
①当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时，有
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1)，z4=(z2+z3)-z1=6.
②当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时，有
所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2).
所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.
③当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时，有
所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3).
所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i.
综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2
-8i.
【延伸探究】将题(2)中条件改为“如图所示，平行四边形ABCD的顶
点A，B，D分别对应的复数为2i，4-4i，2+6i”，求(1)对角线
对应的复数.(2)对角线 对应的复数.
【解析】(1)因为 ，所以对角线 对应的复数为
(4-4i)-(2+6i)=2-10i.
(2)因为
所以对角线 对应的复数为(2+6i)-2i+4-4i-2i=6-2i.
【规律总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用
(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角
形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，
主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.
(2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利
用向量的方法解决.
(3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐
标原点，则四边形OACB：
①为平行四边形；②若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；③若
|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，
则四边形OACB为正方形.
提醒：复数的加减运算可类比向量的坐标运算，这样更易理解.
【巩固训练】在复平面上，复数-1+i，0，3+2i所对应的点分别是
A，B，C，则□ABCD的对角线BD的长为( )
【解析】选B. 对应复数-1+i， 对应复数3+2i，则 对应
的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i，则 故选B.
【补偿训练】已知复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为3+2i，
向量 对应的复数为2+i，向量 对应的复数为1-i，求点C对应
的复数.
【解析】因为 对应的复数为2+i，向量 对应的复数为1-i，
所以 所对应的复数为(1-i)-(2+i)=-1-2i.
又因为 所以点C对应的复数为(3+2i)+(-1-2i)=2.
类型三：复数模的最值问题
【典例3】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小
值是( )
A.1 B. C.2 D.
(2)若复数z满足|z+ +i|≤1，求|z|的最大值和最小值.
【解题指南】(1)利用复数加减法的几何意义，转化为点到直线的
距离求解.
(2)明确满足条件|z+ +i|≤1的复数z的几何意义为：圆心为
(- ，-1)，半径为1的圆内区域，包括边界，|z|则表示圆面上一点
到原点的距离.
【解析】(1)选A.设复数-i，i，-1-i在复平面
内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，
求|ZZ3|的最小值，
因为|Z1Z3|=1.故选A.
(2)如图所示：
所以|z|max=2+1=3，|z|min=2-1=1.
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)若本例题(2)条件改为已知|z|=1且z∈C，求
|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
【解析】因为|z|=1且z∈C，作图如图：
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)
的距离，所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 -1.
2.(变换条件)若题(2)中条件不变，求|z- |2+|z-2i|2的最大值和最
小值.
【解析】如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA= ，zB=2i对应
点A，B相连，得向量 为邻边作平行四边形.
P为圆面上任一点，zP=z，
则2| |2+2| |2=| |2+(2| |)2
=7+4| |2(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，
所以|z- |2+|z-2i|2=
所以|z- |2+|z-2i|2的最大值为27+ ，最小值为27-
【规律总结】复数模的最值问题解法
(1)|z-z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对
值号内变为两复数差的形式.
(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入
手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
【补偿训练】1.(2015·天津高二检测)已知|z|=2，则|z+3-4i|的最
大值为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选D.由|z|=2知复数z对应的点在圆x2+y2=4上，圆心为
O(0，0)，半径r=2.而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数z对应的
点与M(-3，4)之间的距离，由于|OM|=5，所以|z+3-4i|的最大
值为|OM|+r=5+2=7.
2.已知复数z=x+yi(x，y∈R)，且|z-2|= ，则 的最大值为
，最小值为 .
【解析】|z-2|= 所以(x-2)2+y2=3.
即复数z的对应点在以(2，0)为圆心，以 为半径的圆上，而
表示圆上的点与原点连线的斜率，
由图可知
答案：
3.已知z1=cosθ+isinθ，z2=cosα+isinα(θ，α∈R)，
求|z1+z2|的取值范围.
【解析】因为z1+z2=cosθ+isinθ+cosα+isinα
=(cosθ+cosα)+i(sinθ+sinα)，
所以|z1+z2|2=(cosθ+cosα)2+(sinθ+sinα)2
=2+2(cosθcosα+sinθsinα)=2+2cos(θ-α)∈[0，4]，
所以|z1+z2|∈[0，2].
拓展类型：复数中的轨迹问题及简单应用
【典例】1.设z=bi(b∈R)，若使|z-2+i|+|z-2+3i|的值最小，则b=
2.已知复数z满足方程|2z-1+i|=|z+1|，求复数z对应点的轨迹.
【解题指南】1.利用复数的模及复数的几何意义判断.
2.设出复数的代数形式，利用模的计算方法转化为轨迹方程.
【解析】1.由复数的几何意义可知，|z-2+i|表示
z对应的点与点(2，-1)之间的距离，|z-2+3i|表
示z对应的点与点(2，-3)之间的距离，结合图形
知，要使距离的和最小，则z为虚轴上的点(0，-2)，所以b=-2.
答案：-2
2.设z=x+yi(x，y∈R)，
则(2x-1)2+(2y+1)2=(x+1)2+y2，
整理得(x-1)2+
所以轨迹是以点 为圆心，以 为半径的圆.
【规律总结】常见几种复数形式的轨迹
(1)求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面上的
两点距离d=|z1-z2|.
(2)几种复数形式的基本轨迹：
设动点Z，定点Z0，Z1，Z2分别对应复数z，z0，z1，z2，且r1>0，r2>0
，a>0.
①圆：|z-z0|=r，其中r为半径，Z0为圆心；单位圆：|z|=1.
②圆面(不包括圆周)：|z-z0|
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