高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 精讲优练课型.ppt

3.2.2  复数代数形式的乘除运算  【自主预习】 1.复数代数形式的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c +di)= _________________. (ac-bd)+(ad+bc)i 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1·z2=______ 结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2+z3)=________ z2·z1 z1z2+z1z3 3.共轭复数 已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则 (1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是__________. (2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是_____________. a=c且b=-d a=c且b=-d≠0 4.复数代数形式的除法法则 (a+bi)÷(c+di)= ________________ (a,b,c,d∈R,c+di≠0). 【即时小测】 1.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 (  ) A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1) 【解析】选A. 所以其对 应点的坐标为(1,3). 2.设i是虚数单位,若复数a- (a∈R)是纯虚数,则a 的值为 (  ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选D.因为 =(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3. 3.设z= +i,则|z|= (  ) 【解析】选B.因为 所以 4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=________, y=________. 【解析】由题意得: 答案:-1 1 【知识探究】 探究点1 复数代数形式的乘除运算 1.a∈R,z∈C,a2=|a2|与z2=|z|2都成立吗? 提示:a2=|a2|成立;z2=|z|2不一定成立. 例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2. 2.z2=|z2|成立的条件是什么? 提示:当且仅当z∈R时,z2=|z|2成立. 【归纳总结】 1.复数的乘法的三点说明 (1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运 算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚 部分开(i2换成-1). (2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成 立,乘法公式也适用. (3)常用结论: ①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. 2.对复数除法的两点说明 (1)实数化: 分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得结 果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法 的分母“有理化”很类似. (2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开. 特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化. 探究点2 共轭复数 1.若z≠0且z+ =0,则z是否为纯虚数? 提示:是纯虚数,因为z≠0,又实数的共轭是它本身,则 由z≠0且z+ =0知z不是实数,设z=a+bi, =a-bi(a,b ∈R, b≠0)和z+ =2a=0,所以a=0,故z为纯虚数.利用 这个性质,可证明一个复数为纯虚数. 2.复数共轭的共轭是否为复数本身? 提示:根据复数的概念,复数共轭的共轭是复数本身. 【归纳总结】 1.共轭复数的注意点 (1)结构特点:实部相等,虚部互为相反数. (2)几何意义:在复平面内两个共轭复数的对应点关于 实轴对称. 2.共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔ (2)相关结论: ③ 易错警示:注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系. 类型一 复数代数形式的乘法运算 【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数且(2+ai)(a- 2i)=-4i,则a= (  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知复数z1= (1+i)(i为虚数单位),复数z2的 虚部为2,且z1·z2是实数,求z2. 【解题探究】1.本例1中解题的关键点是什么? 提示:根据复数相等求解a. 2.z1·z2是实数的含义是什么? 提示:虚部为零. 【解析】1.选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,a2 -4=-4,解得a=0,故选B. 2.z1= (1+i)=2-i, 设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+ (4-a)i, 因为z1·z2∈R,所以a=4,所以z2=4+2i. 【延伸探究】将本例2中z1·z2是实数改为“z1·z2是 纯虚数”,其他条件不变,求z2. 【解析】由例题知 解得a=-1所以z2=-1+2i. 【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘 法进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简. (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用 乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【变式训练】(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R) 的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=__________. 【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运 算求解即可. 【解析】因为复数a+bi(a,b∈R)的模为 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3. 答案:3 类型二 共轭复数 【典例】(2016·兰州高二检测)把复数z的共轭复数记 作 ,已知(1+2i) =4+3i,求z. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi, 由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复 数相等的定义知, 得a=2,b=1, 所以z=2+i. 【延伸探究】 1.若把本例条件改为 (z+2)=4+3i,求z. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R).则 =x-yi,由题意知, (x-yi)(x+yi+2)=4+3i. 2.若把本例条件改为(1+2i)z=4+3i,求z. 【解析】设z=x+yi,则(1+2i)(x+yi)=4+3i, 得 所以z=2-i. 【方法技巧】处理与共轭复数有关问题的思路 当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的 等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要 条件转化为实数问题求解. 【补偿训练】(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是 虚数单位),则 = (  ) A.3-2i  B.3+2i  C.2+3i  D.2-3i 【解题指南】可先求出z,再利用共轭复数的概念实部 相同,虚部互为相反数求出结果. 【解析】选D.因为z=i(3-2i)=2+3i,所以 =2-3i. 类型三 复数代数形式的除法运算 【典例】1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分 别是 则复数 对应的点位于 (  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.计算:(1) (2) 【解题探究】1.典例1中复数z1,z2的代数形式为什么? 提示:由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i. 2.观察典例2式子的特征,应如何计算? 提示:先化简,再运算. 【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i, 所以 对应的点在第二象限. 2.(1)方法一: 方法二： (2)原式= =(2i)3·i+(-2i)3·(-i)- =8+8-16-16i=-16i. 【方法技巧】复数除法运算法则的应用 (1)复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方 法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯 虚数,则只需同时乘以i). (2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于 一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过 程就可以简化,达到快速、简捷、出错少的效果.比如 下列结果,要记住: ④a+bi=i(b-ai). 易错警示:除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同 乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后 化简. 【变式训练】 【解析】 【补偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足 =i,则|z|= (  ) 【解题指南】将 =i化为z=a+bi(a,b∈R)的形式, 利用|z|= 求解. 【解析】选A.因为 =i,所以 故|z|=1. 自我纠错 复数代数形式的除法 【典例】(2016·西安高二检测)复数 等于 ( ) 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错解中有两处错的地方:因为i3=-i,所以 -i3= +i,(1- i)(1+ i)=1-( i)2=1-2·i2=1+2=3. 正确解答过程如下: 【解析】选A.