高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 情境互动课型.ppt

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i xo y Z1(a,b) Z2(c,d) Z(a+c,b+d) z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合向量加法 的平行四边形 法则. 1.复数加法运算的几何意义? xo y Z1(a,b) Z2(c,d) 复数 z2－z1 向量 Z1Z2 符合向量减 法的三角形 法则. 2.复数减法运算的几何意义? 复平面中点 Z1与点Z2间的距离 |z1-z2|表示：_________ ______________. 已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数模的几何意义： Z1(a，b) o x y Z2(c，d) 特别地，|z|表示： ___________________ ___. 复平面中点Z与原点间的 距离 如：|z+(1+2i)|表示：_________________ _______________.点(-1，-2)的距离 点Z(对应复数z)到 1.掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则. （重点） 2.对复数除法法则的运用.（难点） 3.乘法的运算法则与运算律. 4.共轭复数的定义是什么. 探究点1 复数乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数. 探究点2 复数乘法的运算律 复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法 的分配律？ 请验证乘法是否满足交换律? 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 所以 z1·z2=z2·z1 (交换律) 乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有 z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2. 解: (1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2 =9-(-16) =25. (2)(1+i)2 =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i. 1.计算 2.已知 ,则 = 变式训练： 【总结提升】 （1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立； （2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加 减，有括号应先处理括号里面的． 探究点3 共轭复数的定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０ 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身. 思考：若z1，z2是共轭复数，那么 (1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ (2)z1·z2是一个怎样的数？ 记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作 =a-bi 解：⑴作图 y x (a,b) (a,-b) z1=a+bi o y x(a,0) z1=a ox y z1=bi (0,b) (0,-b) o 得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2所对应的点 关于实轴对称. ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-b2i2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. 探究点4 共轭复数的相关运算性质 探究点5 复数除法的法则 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复 数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则. 复数除法的法则是: 方法:在进行复数除法运算时,通常先把 在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化 因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以 分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数 化”. 先写成 分式形 式 然后分母实数化, 分子分母同时乘 以分母的共轭复 数 结果化简成 代数形式 B 2. 若复数z=1+i (i为虚数单位) 是z的共轭复数， 则 + 的虚部为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 A A B 5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x1 4+x2 4的值. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中 把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 男儿不展风云志，空负天生八尺躯.