1.2 充分条件与必要条件
第1课时 充分条件与必要条件问题
引航
1.充分条件、必要条件的定义是什么?
2.如何判断p是q的充分条件,q是p的必要条
件?充分条件、必要条件
(1)前提:“若p,则q”形式的命题为_______.
(2)条件:p⇒q.
(3)结论:p是q的_____条件,q是p的_____条件.
真命题
充分 必要1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )
(2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( )
(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分
条件.
(2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为﹁p⇐﹁q,所
以﹁p是﹁q的必要条件.
(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是
对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分
条件.
答案:(1)√ (2)× (3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条
件.
(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的 条件.
(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件.【解析】(1)由题意知p⇒q,q⇒r,故p⇒r,所以p是r的充分条件.
答案:充分
(2)当a>0,b>0时,显然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的
充分条件
答案:充分
(3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以
q⇒p,即p是q的必要条件.
答案:必要 【要点探究】
知识点 充分条件与必要条件
1.对充分条件的理解
充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件
时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就
足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6
⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2
=36成立”的充分条件.2.对必要条件的两点说明
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结
论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的
条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条
件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须
有p;而具备了p,则不一定有q.【微思考】
(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗?
提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如
x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
(2)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件?
提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为
真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件.【即时练】
1.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的 条件,“x∈B”是
“x∈A”的 条件.
2.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,
那么:
(1)s是q的什么条件?
(2)p是q的什么条件?【解析】1.因为A⊆B,由子集的定义知x∈A⇒x∈B,故“x∈
A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件.
答案:充分 必要
2.(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充分也是必要条件.
(2)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件. 【题型示范】
类型一 充分条件与必要条件的判断
【典例1】
(1)(2014·广州高二检测)已知:p:x>1;q:x>2;则p是q的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确(2)下列各题中,p是q的什么条件?
①p:α= ;q:cosα= ;②p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.【解题探究】1.题(1)中“若x>1,则x>2”,此命题正确吗?逆命
题呢?
2.题(2)①命题“若α= ,则cosα= ”是真命题吗?逆命题呢?
②若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程x+1=0?【探究提示】1.命题“若x>1,则x>2”不正确,如x=1.5满足x>1,
但x>2不成立;逆命题是正确的.
2.①命题“若α= ,则cosα= ”是真命题,但逆命题为假命
题.
②若x满足方程(x+1)(x-2)=0,则x不一定满足方程x+1=0;如x=2
满足方程(x+1)(x-2)=0,但不满足x+1=0.【自主解答】(1)选B.因为x>1 x>2,但x>2⇒x>1,
所以p q,但q⇒p,
所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(2)①因为α= ⇒cosα= ,但cosα= α= ,
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0,所
以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,
否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,
否则就不是必要条件.(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q
的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同
时q也不是p的必要条件.【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件?
【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则
x=y”及逆命题是否成立,原命题成立p是q的充分条件,逆命题
成立p是q的必要条件.
【解析】由于|x|=|y| x=y,比如x=-1,y=1时,|x|=|y|,但
x≠y;
但x=y⇒|x|=|y|,故p q,但q⇒p.
所以p是q的必要条件,但不是充分条件.【补偿训练】“m= ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+
(m+2)y-3=0相互垂直的 条件.
【解析】当m= 时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需
(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即m= 或m=-2,
因此,m= 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.
答案:充分条件但不是必要类型二 充分条件与必要条件的应用
【典例2】
(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= .
(2)是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如
果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件,那么x=1
是x2+ax+2=0的什么条件,x=1是方程x2+ax+2=0的根吗?
2.题(2)中若不等式4x+p0的解集分别为A,B,那么根
据条件判断A与B有何关系?
【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件,且x=1是方程
x2+ax+2=0的根.
2.若4x+p0的充分条件,则A⊆B.【自主解答】(1)由x2+ax+2=0是x=1的必要条件,知x=1是方程
x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3.
答案:-3
(2)由x2-x-2>0⇒x>2或x
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