1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词 引入1 对于命题p,q，命题p∧q，p∨q，﹁p的
含义分别如何？这些命题与p,q的真假关系如何？
p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得
到的命题，当且仅当p,q都是真命题时，p∧q为真
命题.
p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得
到的命题，当且仅当p,q都是假命题时，p∨q为假
命题.
﹁p：命题p的否定，p与﹁p的真假相反. 引入2 在我们的生活和学习中，常遇到这样
的命题：
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共
和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有 ≥0；
（3）存在有理数x，使 －2＝0;
（4）有些人没有环境保护意识.
对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的
认识. 1.理解全称量词与存在量词的定义及常见形式.
2.能运用全称量词与存在量词解决一些简单
问题.
3.全称量词与存在量词及其应用.（重点、难点) 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有
什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
探究点1 全称量词（1）与(3)区别是对所有的x∈R，x>3；
（2）与(4)区别是对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称命题.
常见的全称量词还有
“一切” “每一个”
“任给” 等 全称命题举例：
全称命题符号记法：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；
所有的正方形都是矩形。
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”
可用符号简记为：
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。要判定全称命题“ x∈M,p(x) ”是真命题，
需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不
成立，那么这个全称命题就是假命题.
判断全称命题真假解：（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题.
（2）真命题.
（3） 是无理数，但 =2是有理数.所以
为假命题.
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）
解：（1）真命题；
（2）-4没有算术平方根，所以为假命题；
（3）真命题。
【变式练习】下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有
什么关系？
(1)2x+1=3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3；
(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
探究点2 存在量词短语“存在一个”“至少有一个”
在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
常见的存在量词还有
“有些”“有一个”
“对某个”“有的”等 特称命题举例：
特称命题符号记法：
命题：有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”
可用符号简记为：
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。判断特称命题真假
要判定特称命题 “ x0∈M, p(x0)”是
真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使
p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)
成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.解：（1）对于x∈R， +2x+3= +2＞0恒成立，
所以 +2x+3=0无解，所以为假命题.
（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，
因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，
所以为假命题.
（3）真命题.
例2 判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数x0，使x0
2+2x0+3=0；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数。判断下列特称命题的真假：
（1）
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（3）
解：（1）真命题；
（2）真命题；
（3）真命题.
【变式练习】1．下列命题中是特称命题的是( )
A．∀x∈R，x2≥0
B．∃x∈R，x2x；
③不存在实数x，使x2＋2x＋3
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