数学人教A版选修4-1课件：本讲整合2.pptx

-1- 本讲整合 -2- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 -3- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题一 与圆有关的角的计算与证明 圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆 有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心 角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、 弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助于圆内接四边形的对角 互补和圆的切线垂直于经过切点的半径来解决. -4- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 A.50° B.45° C.40° D.35° ∴∠CAE-∠ECA=20°. 又∠CEB=∠CAE+∠ACE=60°, ∴∠CAE=40°,即∠CAB=40°. 答案:C -5- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用2如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上的点,且 ∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC. 提示:要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证 明A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故 采用分类讨论来解决. -6- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 证明:作△ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:①点D 在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上. (1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,连接AF, 如图.则∠AFB=∠AEB.而∠AEB=∠ADB,则 ∠AFB=∠ADB.这与“三角形的外角大于任一 不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外. (2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于点F,连接AF,如图, 则∠AFB=∠AEB. 又因为∠AEB=∠ADB, 所以∠AFB=∠ADB. 这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不可能在圆内.综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.所以 ∠CED=∠ABC. -7- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题二 与圆有关的线段的计算与证明 在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,先考虑圆幂 定理,即相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,得到 成比例线段,再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等量代 换加以证明或列出方程解得线段的长. -8- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用3如图,过☉O外一点A作一条直线与☉O交于C,D两点,AB切 ☉O于B,弦MN过CD的中点P.若AC=4,AB=6,则MP·NP=      . -9- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 应用4在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点 C,D,交另一圆于点E,F. 求证:CG·ED=EG·CF. 提示:简单型的比例线段问题,首先考虑证明两个三角形相似. 证明:如图,连接AD,AE,BC,BF. ∵∠D=∠ABC,∠AGD=∠CGB, ∴△ADG∽△CBG. ∴AG·BG=CG·DG.① -10- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 -11- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 1(2015·天津高考,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦 CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为(   ) -12- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 解析:由相交弦定理, 因为M,N是弦AB的三等分点, 所以AM=MN=NB,MB=AN. 所以AM·MB=AN·NB. 答案:A -13- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 解析:由切割线定理得EC2=EB·EA, 即12=EB·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC,则OC⊥DE,所以OC∥AD, 答案:3 2(2015·广东高考,文15)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点, 过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若 AB=4,CE= -14- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 3(2015·重庆高考,理14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆 O的切线与DC的延长线交于点P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE=     .  解析:因为PA是圆的切线, 所以有PA2=PC·PD, 因此CD=PD-PC=9. 又因为CE∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3. 又由相交弦定理可得AE·BE=CE·ED, 答案:2 -15- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 4(2015·广东高考,理15)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O 的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于 点D和点P,则OD=     . -16- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 答案:8 -17- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 5(2015·课标全国Ⅰ高考,理22)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切 线,BC交☉O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线; -18- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 解:(1)连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE是☉O的切线. -19- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 6(2015·课标全国Ⅱ高考,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一点 ,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且 与AB,AC分别相切于E,F两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN= -20- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分 线. 又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F, 所以AE=AF,故AD⊥EF. 从而EF∥BC. (2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF, 故AD是EF的垂直平分线. 又EF为☉O的弦,所以O在AD上. 连接OE,OM,则OE⊥AE. -21- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 由AG等于☉O的半径得AO=2OE, 所以∠OAE=30°. 因此△ABC和△AEF都是等边三角形. -22- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 7(2014·课标全国Ⅰ高考,文22)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边 形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为 等边三角形. -23- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 (1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)解:设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC,故O在直 线MN上. 又AD不是☉O的直径,M为AD的中点, 故OM⊥AD,即MN⊥AD. 所以AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E. 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形. -24- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 8(2014·课标全国Ⅱ高考,文22)如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为 切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延 长线交☉O于点E.证明: (1)BE=EC; (2)AD·DE=2PB2. -25- 本讲整合 知识建构 综合应用 真题放送 2 3 41 5 6 7 8 证明:(1)连接AB,AC, 由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB, 因此BE=EC. (2)由切割线定理,得PA2=PB·PC. 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理,得AD·DE=BD·DC, 所以AD·DE=2PB2.