第2课时 数列的通项公式与递推公式
按照一定顺序排列的一列数称为数列.
(数列具有有序性、可重复性、确定性)
1.数列的定义：
2.数列与函数的关系:
数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集
{1,2，…，n}）为定义域的函数 当自
变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一
列函数值.
反过来，对于函数y=f（x）,如果
f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得
到一个数列f（1），f（2），f（3），…，
f（n），…
1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数
列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其
前几项的特征写出它的一个通项公式.(重点）
2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公
式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前
几项.（难点）
我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.
探究点1 数列的通项公式
注：数列与函数的关系
y=f（x）
an n （正整数集N﹡或它的有
限子集{1,2,3, …,n})
项
通项公式
函数值 自变量
如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个
式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
【即时练习】 写出下面数列的一个通项公式:
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号
的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，
它的一个通项公式为
通项公式不
唯一
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇
数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公
式为
思考：1.根据数列的前若干项写出的通项公式的
形式唯一吗？请举例说明.
提示：不一定唯一.
.
2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？
请举例说明.
提示：不一定能写出.
n 1 2 3 4 5
an =2n-1 1 3 5 7 9
解：列表:
已知数列 的通项公式为 ，用列表
写出这个数列 的前5项，并作出图象.
【变式练习】
O 1 2 3 4 5 6 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
an=2n-1
n
图象如下：
图象是一群
孤立的点
例2 图中的三角形图案称为谢宾斯基
(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，
着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4
项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角
坐标系中画出它的图象.
解：如图，这四个三角形图案中着色的小三角形
的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是
3的指数幂，指数为序号减1.所以,这个数列的一
个通项公式是
在直角坐标系中的图象如图所示.
.
O
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
1 2 3 4
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通
项公式：
（1）3,5,7,9,11，….
（3）0,1,0,1,0,1，….
（5）7,77,777,7777，….
【变式练习】
探究点2 数列的递推公式
1.观察以下数列，并写出其通项公式：
思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确
定这些数列的每一项？
（1）1,3,5,7,9,11，…
（2）0，-2，-4，-6，-8，…
（3）3,9,27,81，…
2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.
模型一：自上而下
…
第1层钢管数为4，即
第2层钢管数为5，即
第3层钢管数为6，即
第4层钢管数为7，即
第5层钢管数为8，即
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
对于上述所求关系，若知其第n-1项，即可
求出其他项，看来，这一关系也较为重要.
【即时练习】
例3 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
【变式练习】
1.写出数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
（1）1，3，5，7.
（2）
2.运用递推公式确定一个数列的通项：
（1）2,5,8,11···
（2）1,1,2,3,5,8,13,21,34···
3.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前
五项，并归纳出通项公式.
2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：
1. 通项公式、递推公式的概念；
(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，
而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关
系.
(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,
2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要
已知首项(或前几项)，才可依次求出其他项.
3.数列通项公式与递推公式的区别与联系
区别 联系
项an及相邻项间的关系式
都是数列的一种表
示方法，可求出数
列中任意一项
通项
公式
递推
公式
区别
项an是序号n的函数式an=f(n)
一句经典的读书名言，往往会让人眼睛为
之一亮；一句经典的读书名言，往往会给人以
启迪和教育；一句经典的读书名言，往往会影
响人的一生。
微信/支付宝扫码支付