2.2 等差数列
第1课时 等差数列
【知识提炼】
1.等差数列的定义
条件
(1)从第__项起
(2)每一项与它的_______的差等于___________
结论 这个数列就叫做等差数列
有关
概念
这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母__
表示
2
前一项 同一个常数
公差 d
2.等差中项
(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.
(2)结论：A叫做a，b的等差中项.
(3)关系：_______.
3.等差数列的通项公式
(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
(2)通项公式：an=_________.
a1+(n-1)d
【即时小测】
1.判断
(1)常数列是等差数列.( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常
数，则这个数列是等差数列.( )
(3)数列{an}满足an+1-an=1(n>1)，则数列{an}是等差数
列.( )
(4)等差数列中从第二项起的任何一项都是相邻两项的
等差中项.( )
【解析】
(1)正确.常数列是公差为0的等差数列.
(2)错误.这里未强调每一项与前一项的差是同一个常
数，不符合等差数列的定义，因而是错误的.
(3)错误.n>1应改为n∈N*.
(4)正确.等差数列中的任意相邻的三项都能成等差数
列，所以该结论正确.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于( )
A. B.± C.3 D.±3
【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.
3.等差数列{an}中，a2=-4，d=3，则a1为( )
A.-9 B.-8 C.-7 D.-4
【解析】选C.由题意得，a2=a1+d，
所以a1=a2-d=-4-3=-7.
4.等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，则n=______.
【解析】由a1=3，an=21，d=2得，
21=3+2(n-1)，解得n=10.
答案：10
5.等差数列-3，-1，1，…的通项公式为an=_______.
【解析】等差数列-3，-1，1，…的首项为-3，公差为
2，所以通项公式为an=-3+(n-1)×2=2n-5.
答案：2n-5
【知识探究】
知识点1 等差数列的定义
观察图形，回答下列问题：
问题1：数列0.3，0.6，0.9，1.2，1.5，1.8，2.1，
2.4是等差数列吗？
问题2：等差数列中相邻项之间有什么关系？
【总结提升】
1.等差数列定义的作用
(1)判定一个数列是否是等差数列.
(2)确定等差数列中任意两项的关系.
2.对等差数列定义的三点说明
(1)“从第2项起”：
①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的
差”相吻合；
②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证
使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)“每一项与它的前一项的差”：
这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差
的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项
必须相邻.
(3)“同一个常数”：若一个数列，从第2项起，每一
项与它的前一项的差等于常数，但是常数不同，这个
数列不是等差数列.
知识点2 等差中项
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：任意两个实数都有等差中项吗？
问题2：能借助等差中项的定义证明一个数列是等差数
列吗？
【总结提升】对等差中项的两点说明
(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两
项的等差中项.
(2)如果an-an-1=an+1-an(n≥2)，则该数列{an}为等差数
列，反之亦然.所以2an=an-1+an+1(n≥2)，则数列{an}为
等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种
方法.
知识点3 等差数列的通项公式
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
问题2：由等差数列的定义如何推导等差数列的通项公
式？
【总结提升】
1.理解等差数列通项公式应注意的四点
(1)由数列的首项a1与公差d，可写出通项公式.
(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差.
(3)由数列的通项公式可求数列的任意一项，也可判定
某数是否为数列的项.
(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d≠0时可把an
看作自变量为n的一次函数.
2.等差数列的通项公式常用的推导方法：
(1)方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列，
所以an-an-1=d，an-1-an-2=d，
an-2-an-3=d，…，
a3-a2=d，a2-a1=d.
将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d，
所以an=a1+(n-1)d.
(2)方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列，
所以an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
(3)方法三(逐差法)：因为{an}是等差数列，则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1) +a1=a1+
(n-1)d.
【拓展延伸】一次函数与等差数列的关系
解析表达式(通项公式) 定义域 图象
等差数列
an=kn+b(其中k=d，b=a1
-d) n∈N* 直线上的
孤立的点
一次函数 y=kx+b x∈R 直线
【题型探究】
类型一 等差数列的通项公式及应用
【典例】1.(2015·金沙高一检测){an}是首项为1，公差
为3的等差数列，如果an=2 017，则序号n等于( )
A.667 B.668 C.669 D.673
2.(2015·泰兴高一检测)在等差数列{an}中，已知
a3+a8=10，则3a5+a7=________.
3.数列{an}是公差不为零的等差数列，且a20=22，
|a11|=|a51|，求an.
【解题探究】1.典例1中，首项a1、公差d、序号n、通
项an之间有什么关系？
提示：an=a1+(n-1)d.
2.典例2中，由条件是否可以求出等差数列{an}的首项
和公差？3a5+a7与a3+a8是否有关系？
提示：由条件无法求出等差数列{an}的首项和公差.借
助等差数列的通项公式可以分析出3a5+a7与a3+a8有关
系.
3.典例3中，如何利用题目条件计算等差数列的首项和
公差？
提示：首先根据题目条件列出关于公差的方程，然后
再求首项.
【解析】1.选D.
由题意得an=1+(n-1)×3=3n-2，
由an=2 017得2 017=3n-2，解得n=673.
2.设等差数列{an}的公差为d，
a3+a8=a1+2d+a1+7d=2a1+9d=10，
3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
答案：20
3.设数列{an}的公差为d，因为a20=22，|a11|=|a51|，
所以|22-9d|=|22+31d|.
因为d≠0，所以22-9d=-22-31d.
所以d=-2，所以a1=22-19×(-2)=60.
所以an=-2n+62.
【方法技巧】
1.求等差数列通项公式的步骤
2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
四个参数 a1，d，n，an
“知三求一”
知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
【变式训练】在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31
，求a20，an.
【解题指南】先根据两个独立的条件解出两个量a1和d
，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出
几个未知量，这是方程组的重要应用.
【解析】因为a5=10，a12=31，则
解 得
所以an=a1+(n-1)d=3n-5，
a20=a1+19d=55.
类型二 等差数列的判定
【典例】已知数列{an}是等差数列，设bn=2an+3，求证：
数列{bn}也是等差数列.
【解题探究】本例中要证明数列{bn}是等差数列，只
要证明什么？
提示：只要证明bn+1-bn是一个与n无关的常数.
【证明】因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，
则an+1-an=d.
从而bn+1-bn=(2an+1+3)-(2an+3)=2(an+1-an)=2d.
它是一个与n无关的常数，
所以数列{bn}是等差数列.
【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为an=7n+2，
bn=lgan，所证结论不变，应如何证明.
【证明】bn+1-bn=lgan+1-lgan=(n+3)lg7-(n+2)lg7
=lg7.
所以数列{bn}是等差数列，即数列{lgan}是等差数列.
2.(变换条件、改变问法)本例条件改为 n∈N*
且a1=1，an>0，求an.
【解析】因为
所以 n∈N*又 =1，
所以数列{ }是首项为1，公差为4的等差数列.
所以 =1+(n-1)×4=4n-3，又an>0，
所以an=
【方法技巧】
1.定义法判定等差数列
(1)条件：an+1-an=d(常数)(n∈N*)或an-an-1=d(常数
)(n>1，n∈N*).
(2)结论：{an}是等差数列.
(3)应用范围：通常用于解答题.
2.通项公式法判定等差数列
(1)条件：数列{an}的通项公式满足一次函数关系式an=kn+b
(k，b是常数).
(2)结论：{an}是等差数列.
(3)应用范围：通常用于选择、填空题.
【补偿训练】设数列{an}，{bn}都是等差数列，且
a1=25，b1=75，a2+b2=100.
(1)求证：数列{an+bn}是等差数列.
(2)求数列{an+bn}的通项公式.
【解析】(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an+1+bn+1)-(an+bn)
=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2，n∈N*，
它是一个与n无关的常数，
所以{an+bn}为等差数列.
(2)由(1)知数列{an+bn}是等差数列，
因为a1+b1=a2+b2=100，
所以{an+bn}为常数列，所以an+bn=100.
【延伸探究】1.(改变问法)在本题条件下，证明数列
{an+2bn}是等差数列.
【证明】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an+1+2bn+1)-(an+2bn)
=(an+1-an)+2(bn+1-bn)=d1+2d2，n∈N*，
它是一个与n无关的常数，
所以数列{an+2bn}为等差数列，
2.(变换条件、改变问法)本题条件改为an=(n+1)2，
bn=n2-n(n∈N*)，求证：数列{an-bn}是等差数列.
【证明】an-bn=(n+1)2-(n2-n)
=(n2+2n+1)-(n2-n)=3n+1，
(an+1-bn+1)-(an-bn)
=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3，
所以数列{an-bn}是等差数列.
类型三 等差中项及其应用
【典例】1.(2015·白鹭洲高一检测) -1， 的等
差中项为________.
2.已知 成等差数列，求证： 也成
等差数列.
【解题探究】1.典例1中，等差中项的定义是什么？如
何计算两个数的等差中项？
提示：若a，A，b成等差数列，则A是a与b的等差中项，
A= .可直接利用等差中项的定义求解.
2.典例2中，要证 成等差数列，只要证
明什么？
提示：只要证明
【解析】1. 的等差中项为
答案：
2.因为 成等差数列，
所以 即2ac=b(a+c).
因为
所以 成等差数列.
【方法技巧】
1.等差中项的计算
(1)条件：若A是a与b的等差中项.
(2)计算公式：A=
2.等差中项法判定等差数列
(1)条件：2an+1=an+an+2(n∈N*).
(2)结论：{an}是等差数列.
【变式训练】已知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)
，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？
【解析】因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b.
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0，
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).
故a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列.
【补偿训练】若lg2，lg(2x-1)，lg(2x+3)成等差数列，
则x的值等于( )
A.1 B.0或32 C.32 D.log25
【解析】选D.因为lg2，lg(2x-1)，lg(2x+3)成等差数
列，
所以lg2+lg(2x+3)=2lg(2x-1)，2(2x+3)=(2x-1)2，
所以(2x)2-4·2x-5=0.
解得2x=5，x=log25.
类型四 等差数列的应用
【典例】1.将等差数列2，7，12，17，22，…中的数
按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，
每页共15行，则数2 017应抄在第________页第
________行第________个位置上.
2 7 12 17 22 …
… … … … … …
2.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后
每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式.
(2)2016年里约热内卢奥运会是第几届？2050年举行奥
运会吗？
【解题探究】1.典例1中，等差数列的首项、公差和通
项公式分别是什么？要确定2 017的位置，首先要计算
什么？
提示：该等差数列的首项为2，公差为5，通项公式为
an=5n-3.要确定2 017的位置，首先要确定2 017是该等
差数列的第几项.
2.典例2中，举行奥运会的年份构成的数列是等差数列
吗？若是，其首项和公差分别是什么？要判断2050年
是否举行奥运会应计算什么？
提示：是等差数列.该等差数列的首项为1 896，公差
为4.要判断2050年是否举行奥运会，应计算2 050是否
是奥运会的年份构成的等差数列中的项.
【解析】1.由题意得，该等差数列的首项为2，公差为
5，通项公式an=2+(n-1)×5=5n-3，
由5n-3=2 017，得n=404.
每页共12×15=180个数，360
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