2.2 等差数列
第1课时 等差数列
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解
决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念并能运用.
1.等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的
前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列.
(2)公差：这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母__表示.
(3)通项公式：an=_________.
2.等差中项
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，
并且A=______.
同一个常数
常数 d
a1+(n-1)d
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1，则它的公差为
( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
【解析】选A.d=an-an-1=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2.
2.已知a=1，b=3，则a，b的等差中项为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.
3.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，则a1+a2= .
【解析】因为an=3-2n，所以a1=3-2=1，
a2=3-2×2=-1，故a1+a2=0.
答案：0
4.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89的项数为 .
【解析】因为a1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.
由-2n+3=-89，得n=46.
答案：46
一、等差数列的概念
观察下列几个实例，探究以下问题
(1)2，4，6，8，10，12，…
(2)1，1，1，1，1，1，…
(3)1，3，5，7，9，11，…
探究1：请观察(1)～(3)中的数列，它们中的每个数列从第二
项起每一项与前一项的差是否都相等？
提示：观察这三个实例可以看出，(1)(3)中的差都是2，(2)中
的差是0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都
相等.
探究2：在探究1的基础上，你能用数学符号表示它们之间的关
系吗？
提示：可表示为an+1-an=d(d为常数，n∈N*).
探究3：根据等差数列的定义，思考是否所有的常数列都是等
差数列？
提示：是，根据等差数列的特点知，所有的常数列都是等差数
列.
【探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件.这一条件有两层意
义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项
的差”相吻合；其二，必须从第2项起保证使数列中各项均与其
前面一项作差.
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，
它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前
面的项；其二是强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前
面一项的差是常数且是同一个常数.
二、等差数列的通项公式及等差中项
结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，探究下列问题：
探究1：利用数列的通项公式如何建立数
列任意两项之间的关系.
提示：在等差数列{an}中，若m，n∈N*，
则an=am+(n-m)d.
推导如下：因为对任意的m，n∈N*，在等差数列中，
有am=a1+(m-1)d，①
an=a1+(n-1)d，②
由②-①得an-am=(n-m)d，
所以an=am+(n-m)d.
探究2：若A= ，则a，A，b是否成等差数列？若一个数列
任意相邻的三项具有这种关系，结果怎样？
提示：若A= ，则a+b=2A，A-a=b-A，则a，A，b成等差数
列，反之也成立.
若an+1= (an+an+2)，则an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差
中项，由n的任意性可得，数列{an}是等差数列.
【探究总结】1.对等差数列通项公式的三点说明
(1)利用通项公式可以求出首项与公差.
(2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项.
(3)若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.
2.等差中项的注意点
(1)等差中项A= ⇔a，A，b成等差数列.
(2)用等差中项：an+1= (an+an+2)可以证明一个数列为等差数
列.
【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式
(1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=
dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函
数(d≠0时)或常数函数(d=0时).
(2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其
中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知
道，d= (n≠m).
类型一 等差数列的定义
1.给出下列数列，其中是等差数列的是 .
(1)0，-3，-6，-9，-12，….
(2)1，-1，1，-1，1，-1，….
(3)6，6，6，6，….
(4)6，5，3，1，-1，-3，….
2.已知cn= 试判断数列{cn}是否为等差数列.
【解题指南】1.验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否
等于同一个常数.
2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个
常数.
【自主解答】1.(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个常数-3，所以是等差数列.
(2)因为-1-1=-2，1-(-1)=2，不是同一个常数，所以该数列不
是等差数列.
(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数0，所以是等差数列.
(4)因为5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于
同一个常数-2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项
起是一个等差数列.
答案：(1)(3)
2.因为c2-c1=-1-1=-2，
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
所以cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列的定义.
所以{cn}不是等差数列.
【规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤
(1)求第二项与第一项的差(常数).
(2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数.
(3)根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列.
【变式训练】给出下列数列，其中是等差数列的是 .
(1)1，2，4，6，8，….
(2)0，0，0，0，….
(3)3，6，9，12，….
【解析】(1)因为2-1=1，4-2=2，故该数列不是等差数列.
(2)因为0-0=0-0=…=0，所以是等差数列.
(3)因为6-3=9-6=12-9=…=3，所以是等差数列.
答案：(2)(3)
类型二 等差数列通项公式的应用
1.(2014·重庆高考)在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则
a7=( )
A.5 B.8 C.10 D.14
2.(2015·大连高二检测)已知等差数列{an}中，a1
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