人教版高中数学必修五同课异构课件：2.2 等差数列 2.2.2 精讲优练课型 .ppt

第2课时 等差数列的性质  【知识提炼】 1.等差数列的项与序号的关系 两项 关系 an=am+_______(n，m∈N*) 多项 关系 若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m，n，p， q∈N*)，则__________ (n-m)d am+an=ap+aq 2.等差数列的对称性 在有穷等差数列{an}中，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首项与末项的和，即a1+an=______=______=… a2+an-1 a3+an-2 3.等差数列的“子数列”的性质 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d， (1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为____， 公差为__的等差数列. (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为___的等差数列. 偶数项数列{a2n}是公差为___的等差数列. (3)若数列{kn}是等差数列，则数列{ }也是等差数列. am+1 d 2d 2d 4.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为_____数列. (2)当d1，且 n∈N*.(  ) (2)若{an}为等差数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则 am+an=ap.(  ) (3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差 数列且其公差为原数列公差的两倍.(  ) 【解析】 (1)正确.由等差数列中任意两项的关系知an+1=an-1+2d. (2)错误.因为am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d， m+n=p，所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d， 又因为ap=a1+(p-1)d，所以要使am+an=ap， 还须有a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d，即a1=d. 所以若{an}为等差数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则 am+an=ap不一定成立. (3)正确.根据等差数列的定义可以判定. 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1 ，5a2，5a3，…，5an是(  ) A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 【解析】选B.5an+1-5an=5(an+1-an)=5d，n∈N*. 所以5a1，5a2，5a3，…，5an是公差为5d的等差数列. 3.等差数列{an}中，a100=120，a90=100，则公差d等于 (  ) A.2   B.20    C.100   D.不确定 【解析】选A.因为a100-a90=10d，所以10d=120-100=20 ，所以d=2. 4.等差数列{an}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=______ 【解析】由等差数列的性质可得 a3+a5=a2+a6=5+33=38. 答案：38 5.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a2 2-4，则 an=________. 【解析】设等差数列的公差为d， 因为a3=a2 2-4，所以1+2d=(1+d)2-4， 解得d2=4，即d=±2. 由于该数列为递增数列，故d=2. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案：2n-1 【知识探究】 知识点1 等差数列通项公式的推广 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证 明？ 问题2：等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什 么？ 【总结提升】等差数列通项公式的推广形式 (1)公式的证明 设等差数列{an}的公差为d，则 an=a1+(n-1)d，am=a1+(m-1)d， 两式相减得an-am=(n-m)d，即an=am+(n-m)d. (2)公式的理解 等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立 的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线 的斜率公式可知公差 知识点2 等差数列的性质 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：如何证明上图中的性质1？ 问题2：等差数列还有哪些常用结论？ 【总结提升】 1.等差数列中四项关系的性质及证明 (1)若等差数列{an}中，m，n，p，q∈N*且m+n=p+q，则 am+an=ap+aq. 证明：设等差数列{an}的公差为d， am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d， ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d =2a1+(p+q-2)d， 因为m+n=p+q， 所以am+an=ap+aq. (2)若am+an=ap+aq，则m+n=p+q不一定成立.例如，公差 为0时，总有am+an=ap+aq，m+n=p+q不一定成立. 2.等差数列几个常用的结论 若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列. (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列. (3){ank}(k∈N*)是公差为kd的等差数列. 【题型探究】 类型一 等差数列中任意两项关系的应用 【典例】1.(2015·邢台高一检测)数列{an}中，a3=2， a7=1，又数列{ }是公差为d的等差数列，则a8=(   ) A.     B.0     C.     D.-1 2.数列{an}是公差为-2的等差数列，且a1+a4+a7+… +a28=100，求a3+a6+a9+…+a30的值. 【解题探究】1.典例1中，等差数列{ }的公差如 何计算？要求a8须先求什么？ 提示：由a3=2，a7=1可求等差数列{ }的第3项和第 7项，进而求出4倍的公差.要求a8须先求 2.典例2中，a1+a4+a7+…+a28与a3+a6+a9+…+a30的项数 有什么关系？取值有什么关系？ 提示：a1+a4+a7+…+a28与a3+a6+a9+…+a30的项数相同， 都是10项.a3+a6+a9+…+a30=a1+a4+a7+…+a28+20d. 【解析】1.选A.因为 所以 所以 所以an= .所以a8= 2.因为数列{an}是公差d=-2的等差数列， 所以a3+a6+a9+…+a30 =(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a28+2d) =(a1+a4+a7+…+a28)+2d×10 =100+(-2)×20=60. 【方法技巧】 1.运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题 (1)在已知公差的情况下，由等差数列的某项求其他任 意项. (2)由等差数列的任意不同两项计算公差. 2.关注多项相加式之间的关系 (1)等差数列{an}的相邻k项的和仍为等差数列，如 a1+a2，a2+a3，a3+a4，…，an-1+an，…成等差数列； a1+a2，a3+a4，a5+a6，…，an+an+1，…成等差数列； a1+a2+…+am，a2+a3+…+am+1，a3+a4+…+am+2，…， ak+ak+1+…+ak+m-1…成等差数列等. (2)注意分析等差数列两个k项的和之间的关系，如 a3+a6+a9+…+a30与a1+a4+a7+…+a28同为10项的和， a3+a6+a9+…+a30=(a1+a4+a7+…+a28)+2d×10. 【变式训练】1.等差数列{an}中，am+n=α，am-n=β， 则其公差d的值为(  ) 【解析】选B.由题意得am+n=a1+(m+n-1)d=α， am-n=a1+(m-n-1)d=β， 两式相减得2nd=α-β，所以d= 2.数列{an}是等差数列，ap=q，aq=p(p，q∈N*，且 p≠q)，求ap+q. 【解题指南】此题关键是求出公差d，然后利用an=am+ (n-m)d，就可求ap+q了. 【解析】方法一：设公差为d，则有 所以ap+q=ap+[(p+q)-p]·d=q-q=0. 方法二：设公差为d，则 由①-②，得q-p=(p-q)d. 所以d=-1，a1=p+q-1. 所以ap+q=a1+(p+q-1)(-1) =p+q-1-p-q+1=0. 类型二 等差数列性质的应用 【典例】1.(2015·陇南高二检测)已知{an}，{bn}是两 个等差数列，其中a1=3，b1=-3，且a19-b19=16，那么a10 -b10的值为(  ) A.-6 B.6 C.0 D.11 2.(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+ a6+a7=25，则a2+a8=________. 3.已知等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，a5·a6·a7= 45 ，求数列{an}的通项公式. 【解题探究】1.典例1中，数列{an-bn}是等差数列吗？ a1-b1，a10-b10，a19-b19之间有什么关系？ 提示：数列{an-bn}是等差数列. (a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10). 2.典例2中，观察a3+a4+a5+a6+a7与a2+a8项的序号， 可由等差数列的性质得到什么结论？ 提示：a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5. 3.典例3中，可先计算出a5，a6，a7的哪一项？另外两 项的值如何计算？ 提示：可先计算出a6，另外两项的值可列方程组进行 计算. 【解析】1.选D.因为{an}，{bn}是两个等差数列， 所以{an-bn}是等差数列，所以 (a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10)， 又因为a1-b1=3-(-3)=6，a19-b19=16， 所以2(a10-b10)=6+16=22，故a10-b10=11. 2.因为{an}是等差数列，所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5， a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25， 解得a5=5，所以a2+a8=2a5=10. 答案：10 3.因为a5+a6+a7=15，所以3a6=15，a6=5. 所以 解得 或 当a5=1，a7=9时，d=4， 通项公式an=a5+(n-5)d=1+(n-5)×4=4n-19； 当a5=9，a7=1时，d=-4， 通项公式an=9+(n-5)×(-4)=-4n+29. 【延伸探究】若典例1中将条件改为等差数列{an}， {bn}满足a3+b3=13，a5+b5=25，试求a7+b7. 【解析】设cn=an+bn， 由题意知新数列{cn}仍为等差数列，且 c3=13，c5=25，又因为2c5=c3+c7， 所以c7=2c5-c3=2×25-13=37， 即a7+b7=37. 【方法技巧】等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1 ，d，然后求其他量. (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 m+n=p+q =2r(m，n，p，q，r∈N*)，则 am+an=ap+aq=2ar. 【变式训练】已知数列{an}为等差数列，且满足 a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a14=77，ak=13，求k的值. 【解析】因为a4+a10=2a7， a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9， 所以3a7=17，11a9=77，所以a7= ，a9=7. 则等差数列{an}的公差d= 所以，an=a9+(n-9)× = n+1， 所以ak= k+1=13，所以k=18. 【补偿训练】已知等差数列{an}， (1)若a1+a5+a9=6，求a5. (2)若a7+a8+a22+a23=28，a7a23=40，求公差d. 【解析】(1)因为a1+a9=2a5， 所以a1+a5+a9=3a5=6， 所以a5=2. (2)因为a7+a23=a8+a22， 所以a7+a8+a22+a23=2(a7+a23)=28. 解得a7+a23=14. 又已知a7a23=40， 联立解得a7=4，a23=10或a7=10，a23=4. 当a7=4，a23=10时，d= 当a7=10，a23=4时，d= 所以公差d为 或- . 类型三 等差数列的设法与求解 【典例】(2015·中山高二检测)三个数成等差数列， 这三个数的和为6，三个数之积为-24，求这三个数. 【解题探究】本例中，列方程组计算三个数时，如何 设三个数可以使运算更加方便？ 提示：可设所求三个数为a-d，a，a+d. 【解析】设这三个数为：a-d，a，a+d，依题意得： 解得 或 所以所求三数为：-2，2，6或6，2，-2. 【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为：三个数成 单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和 等于116，求这三个数. 【解析】设所求三个数依次为a-d，a，a+d(d>0)， 根据题意得到方程组 (a-d)+a+(a+d)=18，① (a-d)2+a2+(a+d)2=116.② 由①得a=6.将a=6代入②，得d=2，d=-2(舍). 所以所求三个数依次为4，6，8. 2.(变换条件、改变问法)若把本例条件改为“成等差数 列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为 40”，求这四个数. 【解析】设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d， 则： 由①得：a= ，将a= 代入②得：d=± ， 所以四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 【方法技巧】设等差数列的三个技巧 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x-d，x ，x+d，…，此时公差为d. (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a- 3d，a-d，a+d，a+3d，…，此时公差为2d. (3)等差数列的通项可设为an=pn+q. 【补偿训练】四个数成等差数列，它们的平方和为94 ，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的 积少18，求这四个数. 【解析】设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d， 根据题意，得(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94， 即4a2+20d2=94.① 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18， 即8d2=18，所以d=± .代入①，得a=± ， 所以所求四个数为8，5，2，-1，或1，-2，-5，-8， 或-1，2，5，8，或-8，-5，-2，1. 【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若将本题改为： 设三个数成单调递减的等差数列，三个数和为12，三 个数的积为48，求这三个数. 【解析】设所求三个数为a-d，a，a+d(d0，所以d=1， 所以所求的四个数为-2，0，2，4. 拓展类型 等差数列的综合问题 【典例】1.把数列{2n+1}中的项依次按第一个括号一 个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四 个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环，为： (3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)， (23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41) ，(43)，…，则第104个括号内的各数之和为(  ) A.2036 B.2048 C.2060 D.2072 2.(2014·金华高一检测)在圆x2+y2=5x内，过点 有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 a1，最大弦长为an，若公差d∈[ ]，那么n的可能 取值为________. 【解析】1.选D.由观察发现，每四个括号是一个循环， 一个循环由10个数组成，104个括号有26个循环，则第 104个括号内有四个数，这四个数为数列3，5，7，9， …的第257项、第258项、第259项、第260项，分别为 3+(257-1)×2，3+(258-1)×2，3+(259-1) ×2， 3+(260-1)×2，即515，517，519，521，其和为2 072. 2.圆x2+y2=5x的圆心为C( )，半径为r= . 过点P( )最短弦的弦长为 过点P( )最长弦长为圆的直径长an=5， 所以4+(n-1)d=5，d= 因为d∈[ ]， 所以 所以4≤n≤7.n的可能取值为4，5，6，7. 答案：4，5，6，7 【方法技巧】解决数列综合问题的策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知 数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 【补偿训练】在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判 断△ABC的形状. 【解析】由A，B，C成等差数列，得2B=A+C， 又A+B+C=π，所以3B=π，B= . 因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列， 所以2lgsinB=lgsinA+lgsinC， 即sin2B=sinA·sinC， 设三角形内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，则 b2=ac， 又因为b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac， 所以ac=a2+c2-ac，即(a-c)2=0，所以a=c. 所以△ABC是等边三角形. 规范解答 等差数列判定和应用的综合问题 【典例】(12分)已知f(x)是定义在非零自然数集上的 函数，当x为奇数时，有f(x+1)-f(x)=1，当x为偶数时， 有f(x+1)-f(x)=3，且f(1)+f(2)=5. (1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n-1)(n∈N*)成等差数 列. (2)求f(n)的解析式. 【审题指导】 (1)要证明f(1)，f(3)，…，f(2n-1)(n∈N*)成等差数 列，只要证明f(x+2)-f(x)为常数，其中x是奇数. (2)由题意可知，f(n)是分段函数的形式， 当n为奇数时，可借助第(1)问的结论求f(n)； 当n为偶数时，需证明f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n) 构成等差数列，再求f(n). 【规范解答】(1)当x为奇数时，x+1为偶数， 代入已知等式有f(x+1)-f(x)=1，① f(x+2)-f(x+1)=3.②……………2分 ①+②得f(x+2)-f(x)=4为常数. ……………………………………4分 又因为 所以 所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n-1)构成首项为2， 公差为4的等差数列.……………………………6分 (2)由(1)知，当n为奇数时，f(n+2)-f(n)=4，f(1)=2 ，所以当n=2k-1时， f(n)=f(2k-1)=2+(k-1)×4=2n.…………………8分 当n为偶数时，n+1为奇数，f(n+1)-f(n)=3， f(n+2)-f(n+1)=1， 所以f(n+2)-f(n)=4.所以 f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)构成 首项为3，公差为4的等差数列. ………………………………………………………10分 所以当n=2k时，f(n)=f(2k) =3+(k-1)×4=2n-1，……………………………11分 综上所述， f(n)= …………………………………………………12分 【题后悟道】 1.认真审题明确解题步骤 解答等差数列的判定问题关键是明确解题目标，正确 设置解题步骤.审题时，应注意将题目条件和所证结论 联系起来，寻找解题思路.如本例中，要证f(1)，f(3) ，…，f(2n-1)(n∈N*)成等差数列，就要证f(x+2)- f(x)为常数，其中x是奇数.因此要根据题目条件寻找 f(x+2)与f(x)的关系. 2.正确构建等差数列模型 构建等差数列模型的关键是求准等差数列的基本量： 首项、公差.如本例中，f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n -1)构成首项为2，公差为4的等差数列；f(2)，f(4)， f(6)，…，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列.