北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理(第2课时)课件

1.1 探索勾股定理/ 1.1 探索勾股定理 (第2课时) 北师大版 数学 八年级 上册 1.1 探索勾股定理/ 1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理， 请问勾股定理的内容是什么？ 2.如何验证勾股定理呢 ？ 导入新知 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你想得到自己的方 法吗？ 1.1 探索勾股定理/ 1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应 用勾股定理解决一些实际问题． 2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的 思想和从特殊到一般的思想. 素养目标 1.1 探索勾股定理/ 问题思考 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你 能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同 伴进行交流. 知识点 1 勾股定理勾股定理的证明的证明 探究新知 1.1 探索勾股定理/ 割 小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对 大正方形进行割补的？ 你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的 关系式表示出来吗？ 探究新知 A B C D 补 1.1 探索勾股定理/ a+b 大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者 ___________ 可得等式 方法一 探究新知 (a+b)2 1.1 探索勾股定理/ 你能用右图验证勾股定理吗 ？ 验证了勾 股定理 探究新知 =c2S正方形C 所以a2+b2=c2 . S正方形C 1.1 探索勾股定理/ 小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者 _______ 可得等式 方法二 探究新知 c2 A B C D 1.1 探索勾股定理/ 你能用右图验证勾股定理吗？ 也验证了 勾股定理 探究新知 =c2S正方形ABCD 所以a2+b2=c2 . =S正方形ABCD A B C D 1.1 探索勾股定理/ 所以a2 + b2 = c2 方法三 c2 a b c a2 b2 探究新知 1.1 探索勾股定理/ a b c ① ② ③ ④ ⑤ 所以c2 = b2 + a2 方法四 探究新知 1.1 探索勾股定理/ 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 探究新知 1.1 探索勾股定理/ a a a a b b b b c c c c 所以a2+b2+2ab=c2+2ab ， 证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 探究新知 所以a2+b2=c2 . ᵼ ᵽ 1.1 探索勾股定理/ a a b b c c 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. 探究新知 所以a2+b2=c2 . 证明：因为 1.1 探索勾股定理/ a b c A B C D E F O 意意大大利利文文艺艺复复 兴兴时时代代的的著著名名 画画家家达达··芬芬奇奇 的证法的证法 探究新知 1.1 探索勾股定理/ Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 请同学们 自己写一 下证明过 程，相信 你能行的 ！ 证明： 探究新知 所以a2+b2=c2 . 1.1 探索勾股定理/ 归纳总结 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关 系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图， 补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验 证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方 形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到 验证的目的． 探究新知 1.1 探索勾股定理/ 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的 图形，则下列结论中正确的是(  ) A．c2＝a2＋b2 B．c2＝a2＋2ab＋b2 C．c2＝a2－2ab＋b2 D．c2＝(a＋b)2 A 巩固练习 1.1 探索勾股定理/ 例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆 敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与 他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方 汽车的速度吗? 分析： 勾股定理的应用知识点 2 探究新知 点A表示小 王的位置 点C表示 汽车开始 位置 点B表示10s 后汽车距小 王500m 小王距离公路 400m，所以 ∠C是直角 点A、B 、C构成 直角三角 形 A C 公路 400m B 500m 例 1.1 探索勾股定理/ 即它行驶的速度为108 km/h. 总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角 形，从而利用勾股定理来解答. 解：由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2, 也就是5002=BC2+4002,所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为 300×6×60=108000(m), 探究新知 1.1 探索勾股定理/ 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶 上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞 机每小时飞行多少千米？ 4km 20秒后 5km A BC 巩固练习 在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.解： 因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3， 因为 , 所以 . 答：飞机每小时飞行540km. 1.1 探索勾股定理/ 例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， 求这个三角形的面积. 8 x 16- x D A B C 解：设这个三角形为ABC，高为AD ，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm ， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2 即x2+64=256-32x+x2 所以x=6 素 养 考 点 2 利用勾股定理解答面积问题 探究新知 方法点拨：利用勾股定理 解答几何问题，经常用到 设未知数列方程的思想答：这个三角形的面积为48cm2. S△ABC= （cm2 ） 1.1 探索勾股定理/ 下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积. 15厘米 17厘米 解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152 =64 答：正方形的面积是64平方厘米. 巩固练习 变式训练 1.1 探索勾股定理/ 议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2. 锐角三角形： a2+b2 ＞ c2 钝角三角形： a2+b2 ＜ c2 直角三角形： a2+b2=c2 提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2+b2=c2. 探究新知 1.1 探索勾股定理/ （2019•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀 算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽 弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽． 下列图案中是“赵爽弦图”的是（  ） A． B． C． D． 连接中考 B 1.1 探索勾股定理/ 1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(  ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m C 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.1 探索勾股定理/ 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格 中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(  ) A．5 B．6 C．7 D．25 A 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.1 探索勾股定理/ 3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为(  ) A．16 B．12 C．9 D．7 D 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.1 探索勾股定理/ 4．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟 至少要飞多少米？ 思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角 三角形，再利用勾股定理解答． 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.1 探索勾股定理/ 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.1 探索勾股定理/ 知识点 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半 圆的面积S1＝ π， S2 ＝2π，试求出S3的面积. 课堂检测 能 力 提 升 题 1.1 探索勾股定理/ 解：如图，由圆的面积公式得 所以c2＝25，a2＝16. 根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9. 所以 能 力 提 升 题 课堂检测 1.1 探索勾股定理/ 一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向 航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向 西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离. 思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题 抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问 题.或者说：画出图形，运用勾股定理. 拓 广 探 索 题 课堂检测 1.1 探索勾股定理/ 解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在 C处.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=900 A C B由勾股定理，可以得到 AB2+AC2=BC2 即122+52=BC2 所以BC=13 （海里） 答： 1小时后快艇与小船之间的距离 为13海里. 拓 广 探 索 题 课堂检测 1.1 探索勾股定理/ 验证 勾股 定理 及应 用 拼 图 验 证 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理． 应 用 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 课堂小结 步 骤 恒等变形 导出勾股定理 思 路 1.1 探索勾股定理/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习