高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质（共25张ppt） .ppt

2.4.2 　抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以 讨论抛物线的哪些几何性质？ 【思考】1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； （重点） 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基 础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点） 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标 准方程 研究它的一些简单几何性质. 探究点1 抛物线的简单几何性质1.范围 因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线 （1）上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧，开口方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向 右上方和右下方无限延伸．2.对称性 以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线 关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线 的轴． 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在 方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1） 的顶点就是坐标原点．4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的 距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛 物线的定义可知，e=1．x y O F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的 弦AB，称为抛物线的通径. 利用抛物线的顶点、 通径的两个端点可较准 确画出反映抛物线基本 特征的草图. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大. 5.通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径. 焦半径公式： x y O F P 6.焦半径方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y xO l F y xO l F y xO x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0x∈R l F y xO 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，为１; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大. 【提升总结】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（２，　　），所以，可设它的标 准方程为 因为点M在抛物线上，所以 因此,所求抛物线的标准方程是 　 【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标 原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程. 即p =2.分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标， 又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程； 与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标； 利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方 法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法. x y O F A BB A' '题 点 线 l x y O F A BB A' '还可以如何求 x1+x2?分析：运用抛物 线的定义和平面 几何知识来证比 较简捷． 如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线 相切． 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因而圆 E和准线l相切． 证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准 线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 2.已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则p = . 4 3.已知直线x-y=2与抛物线 交于A，B两 点，那么线段AB的中点坐标是 .4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛 物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm， 建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置. x y O (40,30) 所在平面内建立直角 坐标系,使反射镜的 顶点与原点重合, x轴 垂直于灯口直径. 解：在探照灯的轴截面 设抛物线的标准方程为:y2=2px（p＞0）， 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 302 =2p·40 解得: p= 故所求抛物线的标准方程为: y2= x, 焦点为( ,0)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于１. 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 1. 范围： 2. 对称性： 3. 顶点： 4. 离心率： 目标的坚定是性格中最必要的力量源 泉之一，也是成功的利器之一。没有它， 天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.