人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.1 探究导学课型 .ppt

2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题. 3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 前n项和公式 Sn=_________ Sn=______________ 1.若等差数列{an}前5项和S5=10，则a3=(  ) A.2    B.4    C.6    D.8 【解析】选A.S5= =10，即a1+a5=4， 故a3= =2. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则d=    . 【解析】因为S3=3a1+ d=6，所以d=-2. 答案：-2 3.若等差数列{an}的通项公式为an=2n，则Sn=    . 【解析】由题意知a1=2，d=2，所以Sn=na1+ ×2 =n2+n. 答案：n2+n 一、等差数列前n项和公式 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式 ①Sn= ；②Sn=na1+ d，思考下面的问题： 探究1：试用数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d及Sn= 推导Sn=na1+ d. 提示：将an=a1+(n-1)d代入Sn= 化简即可. 探究2：等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉 及几个量？如何求这些量？ 提示：在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，所以只需 知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量. 【探究总结】等差数列前n项和公式的三个关注点 (1)等差数列前n项和公式中涉及五个量，已知其中任意三个就 可以列方程组求另外两个(简称“知三求二”)，它是方程思想在 数列中的体现. (2)等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体 会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类 似的求和问题. (3)当Sn是n的二次函数时，{an}不一定是等差数列.如果 Sn=an2+bn+c，则在c=0时{an}是等差数列，在c≠0时{an}不是等 差数列；反过来{an}是等差数列，Sn的表达式可以写成 Sn=an2+bn的形式，但当{an}是不为零的常数列时，Sn=na1是n的 一次函数. 二、等差数列前n项和的性质 由等差数列的前n项和公式Sn=na1+ 变形得： 请根据该式子思考下面的问题： 探究1：等差数列的前n项和是否可以看成是关于n的二次函数？ 提示：可以，若令A= ，B=a1- ，则 可化为 Sn=An2+Bn，显然是关于n的二次函数. 探究2：若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 是否为等差数列？若是，则公差是什么？ 首项是什么？ 提示：根据等差数列的前n项和公式可得， 两边同除以n得： 所以 是首项为a1，公差 为 的等差数列. 【探究总结】1.对等差数列的前n项和性质的两点说明 (1)等差数列的前n项和可以写成Sn=An2+Bn，其中A，B∈R(注意 不含常数项时才为等差数列)，其中公差为2A. (2)利用等差数列的前n项和性质解题能使问题的解决简单、快 捷. 2.等差数列前n项和的三条性质 (1)等差数列{an}中，若Sn=m，Sm=n(m≠n)，则Sm+n=-(m+n). (2)等差数列{an}中，若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0. (3)设数列{an}是等差数列，项数为m，其奇数项之和记为S奇， 偶数项之和记为S偶，那么，当项数m为偶数2n时，S偶-S奇=nd， 当项数m为奇数2n+1时，S奇-S偶=an+1， . 类型一 等差数列前n项和公式的应用  1.(2014·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2， S3=12，则a6等于(  ) A.8    B.10    C.12    D.14 2.已知数列 则a1+a2+a3+a4+…+a99 +a100=(  ) A.4800   B.4900   C.5000   D.5100 3.数列{an}为等差数列.已知a2=1，a4=7. (1)求通项公式an. (2)求{an}的前10项和S10. 【解题指南】1.利用公式，联系基本量a1，d建立方程求解. 2.先列出数列的项，再利用等差数列的前n项和公式求解. 3.先根据a2=1，a4=7，求出首项和公差，进而得出通项公式， 再根据等差数列的前n项和公式求前10项和. 【自主解答】1.选C.由题得 解得 所以a6=a1+5d=12. 2.选C.由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 =0+2+2+4+4+…+98+98+100 =2(2+4+6+…+98)+100 =2× +100=5 000. 3.(1)设公差为d，则 解得 所以an=3n-5. (2)S10=10×(-2)+ ×3=115. 【规律总结】等差数列前n项和公式运用的注意点及解题流程 (1)注意点： ①方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二 ”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解； ②整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整 体代换思想的运用. (2)解题流程： 等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，利用等差数列通项公式 与前n项和公式列方程组求解a1和d是解决等差数列求和问题的 常用方法. 其一般的解题流程为： 【变式训练】 1.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1= ，S2=a3， 则a2=    ，Sn=    . 2.在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，则S8=    . 【解析】1.设{an}的公差为d， 由S2=a3知，a1+a2=a3，即2a1+d=a1+2d， 又a1= ，所以d= ，故a2=a1+d=1， Sn=na1+ n(n-1)d= n+ (n2-n)× = n2+ n. 答案：1  n2+ n 2.因为a6=10，S5=5， 所以 解方程组得 则S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44. 答案：44 类型二 等差数列前n项和的性质的应用  1.(2014·重庆高二检测)在等差数列{an}中，3(a2+a6)+ 2(a5+a10+a15)=24，则此数列前13项之和为(  ) A.26   B.13   C.52   D.156 2.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数 列 的前10项和为    . 3.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和. 【解题指南】1.由条件求出a1+a13的值，然后利用等差数列 前n项和的性质求解. 2.利用数列 是等差数列来求解. 3.可利用等差数列前n项和的性质求解. 【自主解答】1.选A.由条件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4， 故a1+a13=4，所以S13= =26. 2.因为an=2n+1，所以a1=3， 所以Sn= =n2+2n，所以 =n+2， 所以 是公差为1，首项为3的等差数列， 所以前10项和为3×10+ ×1=75. 答案：75 3.数列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差数 列，设其公差为D，前10项和10S10+ ×D=S100=10，所以 D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110. 【规律总结】等差数列前n项和的几个常用性质 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的性 质有： (1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列. (2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an. 【变式训练】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm=70， S2m=110，则S3m=     . 【解析】因为{an}为等差数列， 所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， 所以2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， 即2×(110-70)=70+S3m-110， 所以S3m=120. 答案：120 类型三 数列Sn与an的关系问题  1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=(  ) A.3   B.4   C.5   D.6 2.Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2. (2)Sn=3n-1. 【解题指南】1.利用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1的值，从而确定 等差数列{an}的公差，再利用前n项和公式求出首项a1，进而 根据通项公式求出m的值. 2.利用 求数列的通项公式，注意验证n=1 时是否适合一般的式子. 【自主解答】1.选C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3， 因为数列{an}为等差数列， 所以d=am+1-am=1， 又因为 所以m(a1+2)=0， 因为m≠0，所以a1=-2， 又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5. 2.(1)当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2] =4n+1，又a1=7不适合上式， 所以an= (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1，显然a1适合上 式， 所以an=2×3n-1(n∈N*). 【规律总结】由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤 (1)令n=1，求a1，即a1=S1. (2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1. (3)验证n=1时，an=Sn-Sn-1是否成立. (4)得出结论. 【变式训练】已知数列{an}的前n项和 求数 列{an}的通项公式an. 【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1 当n=1时， 满足上式， 所以an=-3n+104(n∈N*). 类型四 等差数列前n项和的实际应用  1.为了参加5 000m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计 划.第1天跑5 000m，以后每天比前一天多跑400m，李强10天一 共跑了    m. 2.甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟 运动2m，以后每分钟比前一分钟多运动1m，乙每分钟运动5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折回，甲继续每分钟比前 一分钟多运动1m，乙继续每分钟运动5m，那么开始运动后几分 钟第二次相遇？ 【解题指南】1.根据李强每天跑的路程构成一个首项为 5 000m，公差为400m的等差数列，转化为求和. 2.(1)甲每分钟运动的路程构成了一个首项a1=2，公差d=1的等 差数列，由甲运动的路程与乙运动的路程之和为70求解. (2)到第二次相遇，甲、乙两人共运动了3×70m，建立方程求 解. 【自主解答】1.将李强每一天跑的路程记为数列{an}， 则a1=5 000m，公差d=400m. 所以S10=10a1+ ×d =10×5 000+45×400=68 000(m)， 故李强10天一共跑了68 000m. 答案：68 000 2.把物理问题转化为等差数列求项数问题. (1)设第n分钟后第一次相遇，依题意有 2n+ +5n=70， 整理，得n2+13n-140=0， 解得n=7，n=-20(舍去). 所以第一次相遇在开始运动后的第7分钟. (2)设第m分钟后第二次相遇， 依题意，有2m+ +5m=3×70， 整理，得m2+13m-420=0， 解得m=15，m=-28(舍去). 所以第二次相遇在开始运动后的第15分钟. 【规律总结】解数列应用题的四个关注点 (1)认真审题，准确理解题意，认真筛选，收集和处理问题中 提供的信息，善于把问题数学化. (2)弄清题目中的主要已知事项，明确所求的结论是什么. (3)将实际问题抽象为数列问题，将已知与所求联系起来，根 据题意引出满足题意的数学关系式. (4)在解数列应用题时，一般要经历“设—列—解—答”四个环 节. 【变式训练】某地区有荒山2 200亩，从2007年开始每年春季 在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年 多植树50亩.若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部 绿化？ 【解析】由题意可知，各年植树亩数为100，150，200， …成等差数列， 设植树n年可将荒山全部绿化，则： 100n+ ×50=2 200， 解之得n=8或n=-11(舍去)， 所以到2014年可将荒山全部绿化.