人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型 .ppt

第2课时 等差数列习题课  【题型探究】 型一 等差数列前n项和的性质 【典例】1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和 Tn，且 则 =(  ) 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 那么 的值为(  ) 3.(2015·唐山高二检测)等差数列{an}的前n项和为 Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解题探究】1.典例1中， 如何转化为 的形式？ 提示： 2.典例2中，S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12是否成等差数 列？ 提示：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列. 3.典例3中，系题目条件，可以考虑应用等差数列前 n项和的哪个性质？ 提示：应用数列 是等差数列. 【解析】1.选B.由题意得 2.选D.由 可设S4=t，S8=3t，t≠0， 所以S8-S4=3t-t=2t， 因为等差数列{an}的前n项和为Sn， 所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列， 所以S12-S8=3t，S16-S12=4t，所以S12=6t，S16=10t. 所以 3.选C.因为数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn， 所以数列 也为等差数列. 所以 解得m＝5，经检验为原方程的解. 【延伸探究】若典例1条件不变，试计算 【解析】 【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质 (1)数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是公差为n2d的等差数列. (2)数列 为等差数列. (3)等差数列{an}前n项和公式为 由等差数 列的性质可得： (4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， 则 【式训练】1.(2015·黄山高二检测)等差数列的通 项公式是an=1-2n，其前n项和为Sn，则数列 的前11 项和为(  ) A.-45 B.-50 C.-55 D.-66 【解析】选D.因为 所以 所以数列 是首项为-1，公差为-1的等差数列，其 前11项和为-（1+2+3+…+11）= =－66 . 2.等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=-6，S18-S15=18， 则S18等于(  ) A.36 B.18 C.72 D.9 【解题指南】根据S3，S6-S3，S9-S6，…，S18-S15成等 差数列计算. 【解析】选A.由S3，S6-S3，S9-S6，…，S18-S15成等差 数列，可知 S18=S3+S6-S3+S9-S6+…+S18-S15 【偿训练】一个等差数列的前10项之和为100，前 100项之和为10，求前110项之和. 【解析】方法一：设该等差数列的公差为d， 由于Sn= 所以 所以数列 是等差数列，其公差为 . 所以 所以 所以 所以S110=－110. 方法二：数列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110 -S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+ ×D=S100=10⇒D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110. 型二 奇数项和、偶数项和问题 【典例】等差数列{an}的前12项和为354，前12项中奇 数项与偶数项的和之比为27∶32，求这个数列的通项 公式. 【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列 吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特 点？ 提示：前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1，a2为首 项，2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d. 【解析】方法一：设{an}的首项为a1，公差为d， S奇=6a1+ ×2d=6a1+30d， S偶=6(a1+d)+ ×2d=6a1+36d， 所以an=2+(n-1)×5=5n-3. 方法二：S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d， 所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5. 因为S12=12a1+ ×5， 所以a1=2.所以an=5n-3. 方法三：设{an}的首项为a1，公差为d，则 所以   ① 因为S12= =6(a6+a7)=354， ② 解得 所以d=5.所以an=a6+(n-6)×5=27+5n-30=5n-3. 【延伸探究】 1.(换条件)典例中，“354”改为“222”，“27∶32”改为 “17∶20”，其他条件不，结果又如何？ 【解析】S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d， 所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3. 因为222=12a1+ ×3， 所以a1=2.所以an=3n-1. 2.(换条件、改问法)典例中项数改为2n+1(n∈N*) 项，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中 项和项数. 【解析】项数为2n+1(n∈N*)，则奇数项有n+1项，偶 数项有n项，中间项为an+1，则 所以 所以n=3，an+1=11. 所以数列的中间项为11，项数为7. 【方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质 (1)若等差数列的项数为2n，则 S2n=n(an+ an+1)， S偶-S奇=nd， (2)若等差数列的项数为2n+1，则 S2n+1=(2n+1)an+1， S偶-S奇=-an+1， 【偿训练】在等差数列{an}中前m项(m为奇数且m>1) 和为77，其中偶数项和为33且a1-am=18，求这个数列的 通项公式. 【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则数 列的前m项为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…，a1+(m-1)d. 前m项(m为奇数)和为77，其中偶数项之和为33，所以 奇数项之和为44， S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+[a1+(m-1)d] S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+…+[a1+(m-2)d] 所以S奇- S偶=a1+ d=11，① 因为a1-am=a1-[a1+(m-1)d]=18，所以(m-1)d=-18，② 联立①②解得a1=20，所以am=2， 因为Sm= (a1+am)=77，所以m=7. 代入(m-1)d=-18，解得d=-3. 通项公式an=20-3(n-1)=23-3n. 【延伸探究】 1.(换条件)本题中“77”改为“93 ”，“33”改 为“42 ”，“a1-am=18”改为“a1=1”，其他条件 不，结果如何？ 【解析】设m=2n+1， 由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93 ， S奇=S2n+1-S偶=93 -42 =51， S奇-S偶=an+1=8 ， 所以 所以n=5. 又因为a1=1，a1+nd=8 ， 所以1+5d=8 ，解得d= ， 所以an=1+(n-1)× 2.(换条件、改问法)将本题中“奇数且m>1”改为“ 偶数且m≥18”，“77”改为“162”“33”改为“72”，“a1- am=18”改为“各项为整数”，求首项a1. 【解析】设m=2n，则n≥9. S奇=a1+a3+…+a2n-1 =na1+ ×2d=na1+n(n-1)d=162-72=90， S偶=a2+a4+a6+…+a2n =na2+ ×2d=na1+n2d=72， 所以S偶-S奇=nd=-18，所以d=- ， 因为等差数列{an}各项均为整数， 所以d=- (n≥9)为整数， 所以n=9，18， 当n=9时，d=-2， 所以9a1+92×(-2)=72，a1=26， 当n=18时，d=-1， 所以18a1+182×(-1)=72，a1=22. 型三 数列求和 角度1：裂项相消法求和 【典例】(2015·江高考)数列{an}满足a1=1，且 an+1-an=n+1(n∈N*)，则数列 的前10项和为_____. 【解题探究】典例中，用什么方法求数列{an}的通项 公式？用什么方法计算数列 的前10项和？ 提示：利用累加法求出数列{an}的通项公式；利用裂 项相消法计算 的前10项和. 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= 所以 所以 的前10项和为 答案： 【延伸探究】若把典例中“an+1-an=n+1”改为 “an= ”，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】因为 所以 的前10项和为 角度2：并项转化求和 【典例】数列{an}的通项an= 其前n项 和为Sn，则S30的值为________. 【解题探究】典例中的数列{an}的通项公式可转化为 何种形式？根据数列{an}中项的变化规律，用什么方 法求和？ 提示： 数列 中重复出现－ ，－ ，1三项. 据此特点，可将各项重新搭配并项求和. 【解析】由题意得 ， 所以S30=- [(12+22-2×32)+(42+52-62×2)+…+(282+292 -302×2)] =- [(12-32)+(42-62)+…+(282-302)+(22-32)+(52-62) +…+(292-302)] =- [-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)] 答案：470 角度3：求数列{|an|}的前n项和 【典例】已知数列{an}的通项公式an=－2n+11. (1)如果{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值. (2)如果bn=|an| (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解题探究】典例中(1)如何求Sn的最大值？ (2)Tn与Sn有什么关系？ 提示：(1)利用二次函数求最值的方法求Sn的最大值. (2)当n≤5时，Tn=Sn； 当n≥6时，Tn=S5-(Sn-S5). 【解析】(1)因为Sn= (9+11-2n)=10n-n2 =-(n-5)2+25， 所以当n=5时，Sn最大，最大值为25. (2)bn= 当n≤5时，Tn=Sn=10n-n2； 当n≥6时，Tn=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn =25×2-(10n-n2)=n2-10n+50， 所以 【方法技巧】 1.裂项相消法求数列的和 裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式 是分式.常的裂项有： (1)若{an}是等差数列，则 2.并项转化法求数列的和 (1)适用形式： ①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆数列. ②项成周期化的数列. (2)求和方法： ①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相项的一正一 负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等差 数列求解. ②针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有 某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项 放在一起先求和，然后再求原数列的前n项和. 3.数列{|an|}的前n项和的四种型及其求解策略 (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列 {|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)等差数列{an}中，a1>0，d0，a10·a110，a10·a11