人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 情境互动课型 .ppt

2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 1+2+3+…+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 我们先看下面的问题. 怎样才能快速计算 出一堆钢管有多少根呢？ 一 二 4+10=14 三 5+9=14 6+8=14四 7+7=14五 8+6=14六 9+5=14 七 10+4=14 (1)先算出各层的根数， 每层都是14根； (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是： 1+2+3+···+100=? 带着这个问题，我们进入本节课的学习！ 1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的 推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点） 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊 到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式 的运用体会方程的思想．（难点） 下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法. 设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 + + + + + + + 作 加 法 + + + + + + + 作 加 法 多少个101 ?100个101 2S100=101+101+101+…+101+101+101 // // // // // \\ \\ + + + + + + + 作 加 法 探究点1：等差数列的前n项和公式 所以S100= (1+100)×100 ？？首 项 尾 项？总 和 ？项 数 这就是等差 数列前n项和 的公式！ =5 050 +得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).  以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则 证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an, 即Sn= a1,an + a2 ++an-1+ a3an-2+…+   2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) 多少个(a1+an) ?共有n个(a1+an) 由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： = n(a1+an). 这种求和的 方法叫倒序 相加法！因此， 【即时练习】 探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式 【即时练习】 例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小 学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用 10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经 费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每 年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001 年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的 总投入是多少？ 解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校 通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建 立一个等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金， 其中， 本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有 效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体 会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学 习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解 决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合， 对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈. 【变式练习】 例2 已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项 的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项 和的公式吗？ 分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可 得到两个关于 与d的二元一次方程，由此可以求得 与d，从而得到所求前n项和的公式. 【技巧方法】 此例题的目的是建立等差数列前n 项和与方程组之间的联系.已知几 个量，通过解方程组，得出其余的 未知量. 让我们归 纳一下！ 【变式练习】 【变式练习】 2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前 n项和,若a1+a3+a5=3,则S5= (  ) A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5= =5a3=5. 说明：两个求和公式的使用——知三求一. 青年之文明，奋斗之文明也，与境遇奋斗， 与时代奋斗，与经验奋斗。故青年者，人生之王， 人生之春，人生之华也。 ——李大钊