2.4 等比数列
第1课时 等比数列
1, 3, 5, 7, 9，…; (1)
3, 0, -3, -6, … ; (2)
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公
差通常用字母d表示.
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，
每日取其一半，永远也取
不完”.
如果将“一尺之棰”视为一
份，则每日剩下的部分依次
为：
生活中的数列
1.放射性物质镭的半衰期为1 620年，如果从现
有的10克镭开始，每隔1 620年，剩余量依次为
10 000×1.05 , 10 000×1.052 , 10 000×1.053 ，
10 000×1.054 ，10 000×1.055
2.某人年初投资10 000元，如果年收益率为５％，
那么按照复利计算，５年内各年末的本利和依次为
1.理解等比数列的概念.(重点）
2.掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数
列的等比关系，提高数学建模的能力．（重点、
难点）
看下列数列：
5. 3，9，27，81，…;
4.10 000 ×1.05 , 10 000 × 1.052 , 10 000 × 1.053 ，
10 000 × 1.054 ， 10 000 × 1.055 ;
探究点1：等比数列定义
思考：它们的共同特点是什么？
提示：从第二项起，每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数.
等比数列的定义:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个
数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q表示 (q≠0).
等比数列的定义
或
注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比，不能颠倒.
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个
常数.
写出上面六个等比数列的通项公式(如下)，类比等差
数列的通项公式的推导过程，补全首项是 ，公比
是q的等比数列 的通项公式.
n-1
如果一个数列
是等比数列，它的公比是q，那么
…， …，
由此可知，等比数列 的通项公式为
…
设｛an｝是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.求
｛an｝的通项公式.
解：设q为等比数列｛an｝的公比，由a1=2, a3=a2+4,
得2q2=2q+4,
即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1（舍去），
故q=2.所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
【即时练习】
探究点2：等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，
这三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，____，9 （2）-1，____，-4
（3）-12，___，-3 （4）1，____，1
±3 ±2
±6 ±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等
比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
【即时练习】
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质
的半衰期为多长（精确到1年）？
分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年 a1=0.84
经过2年 a2=0.842
经过3年 a3=0.843
… …
经过n年 an=0.84n
答：到第5代大约可以得到种子 粒.
培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并
且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以
得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到
这个新品种的种子多少粒？
【解析】由于每一代的每一粒种子都可得120粒种
子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120
倍，逐代的种子数组成等比数列，记为
其中
【变式练习】
例2 根据如图的框图，写出所
打印数列的前5项，并建立数列
的递推公式，这个数列是等比数
列吗？
开始
输出A
结束
否
A=1
n=1
n=n+1
A=2A
n＞5?
是
A= A
在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，
则这个数列的公比为（ ）
A. B.
C. D.
C
【变式练习】
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12
和18,求它的第1项和第2项.
【方法技巧】
如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可
以求得数列的其他项.
数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（ ）
A.第13项 B.第14项
C.第15项 D.不在此数列中
C
【变式练习】
3.(2015·全国卷)等比数列{an}满足
a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( )
A.21 B.42 C.63 D.84
【解析】
选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,
又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,
解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
（n≥2，n ∈N*）；
2.要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用.
)0(
1
¹=
-
qqa
a
n
n
3.等比数列与等差数列的区别与联系
不
同
点
等差数列
（1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}（a>0且a≠1）为等差
数列；
（2）若{an}为等差数列，则{ }为等比数列（b≠0）.
（1）都强调每一项与前一项的关系；
（2）差或比结果都必须是常数；
（3）数列都可以由a1，d或a1，q确定.
等比数列
相
同
点
联
系
（1）强调每一项与前一项的比值；
（2）a1与q均不为零.
（1）强调每一项与前一项的差；
（2）a1和d可以为零.
百川东到海，何时复西归？少壮不努力，
老大徒伤悲。
——汉乐府《长歌行》
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