2.4 等比数列
第1课时 等比数列
【知识提炼】
1.等比数列的定义及通项公式
2
它的前一项 比
常数
q(q≠0)
a1qn-1(a1≠0)(q≠0)
2.等比中项
(1)前提：三个数________组成等比数列.
(2)结论：__叫做_____的等比中项.
(3)满足的关系式：G=_____.
a，G，b
G a和b
【即时小测】
1.判断
(1)等比数列的公比可以为任意实数.( )
(2)若b2=ac，则a，b，c成等比数列.( )
(3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常
数，则这个数列是等比数列.( )
(4)常数列既是等差数列又是等比数列.( )
【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零.
(2)错误.如02=3×0，但是3，0，0不成等比数列.
(3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数，
不符合等比数列的定义，因而是错误的.
(4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各数列成等比数列的是( )
①1，-2，-4，-8；
②1，
③-1，1，-1，1；
④ (a为常数且a≠0).
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
【解析】选A. ①因为 所以1，-2，-4，-8不
是等比数列；
②1， 是首项为1，公比为 的等比数列；
③-1，1，-1，1是首项为-1，公比为-1的等比数列；
④ (a为常数且a≠0)是首项为 ，公比为 的
等比数列，
综上可知②③④是等比数列.
3.已知{an}是一个等比数列，若a1=3，a5=12，则公比
q=( )
【解析】选D.因为a5=a1q4，
所以 所以q=± .
4.等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通
项公式为________.
【解析】数列{an}通项公式为an=2×5n-1.
答案：an=2×5n-1
5.-1与-25的等比中项为________.
【解析】-1与-25的等比中项为
答案：±5
【知识探究】
知识点1 等比数列的概念
观察图形，回答下列问题：
问题1：图中的细胞分裂组成的数列1，2，4，8，16，
…是等比数列吗？
问题2：等比数列中相邻项之间有什么关系？
【总结提升】
1.从三个方面剖析等比数列的概念
(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：
其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与它
的前一项的比”相吻合；
其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保
证数列中各项均与其前面一项作商.
(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求
的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比
前面的项；其二强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是
等比数列.
2.等比数列定义的符号表示
在数列{an}中，若 =q(n∈N*)，q为不为0的常数，
则数列{an}是等比数列.
知识点2 等比中项
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：任意两个实数都有等比中项吗？
问题2：两个正数的等比中项是唯一的吗？
【总结提升】对等比中项的三点认识
(1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数
列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2=ab”(a，b均
不为0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的.可
以用它来判断或证明三个数成等比数列.同时还要注意
到“a，G，b成等比数列”与“G=± ”是不等价的.
(3)同号的两个实数才有等比中项.
知识点3 等比数列的通项公式
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？
问题2：由等比数列的定义如何推导等比数列的通项公
式？
【总结提升】
1.推导等比数列通项公式的常见方法
(1)迭代法：
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的
定义得，an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a2qn-2=a1qn-1.
(2)归纳法：
a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，…，
an=an-1q=a1qn-1.
(3)累乘法：
=q·q·q·…·q，即 =qn-1，故an=a1qn-1.
2.理解等比数列通项公式应注意的三点
(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.
(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q，
an中的三个，就可以求出第四个.
(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列
的项.
【拓展延伸】用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，可以改写为an=
·qn.当q>0，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而
y= ·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等
比数列{an}的图象是函数y= ·qx的图象上的一群孤立
的点.
例如，当a1=1，q=2时，an= ·2n，表示这个数列各项
的点就都在函数y= ·2x的图象上，如图所示：
【题型探究】
类型一 等比数列通项公式的应用
【典例】1.(2015·承德高一检测)在等比数列{an}中，
a1= ，a3+a5=4，an=3，则n=( )
A.5 B.6 C.4 D.3
2.(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1+a2=10，
a4-a3=2.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列
{an}的第几项相等？
【解题探究】
1.典例1中，关键是计算哪个量？
提示：关键是计算公比.
2.典例2中，(1)关键是计算哪些量？计算的顺序是什
么？
(2)如何求等比数列{bn}的通项公式？判断b6与数列
{an}的第几项相等的本质是计算什么？
提示：(1)关键是计算首项、公差.根据题目条件应先
计算公差，再计算首项.
(2)先计算b2，b3，再计算公比，最后求等比数列{bn}
的通项公式.本质是依据b6=an计算n的值.
【解析】1.选A.设等比数列{an}的公比为q，
因为a1= ，a3+a5=4，
所以 q2+ q4=4，即q4+q2-12=0，
解得q2=3或q2=-4(舍)，
所以|q|>1，所以等比数列{an}各项的绝对值是逐项递
增的.又因为a5=a1q4= ×32=3，所以n=5.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d，
则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10，
所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1).
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16，
所以q= =2，b1=4，bn=2n+1，
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【延伸探究】若将典例2的条件“等差”改为“等比”
“a1+a2=10，a4-a3=2”改为“a3+a1=5，a5-a1=15”，
求数列{an}的通项公式.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
由已知得 即
由②÷①得q2-1=3，所以q=±2.
代入①得a1=1，所以数列{an}的通项公式为
an=2n-1或an=(-2)n-1.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，
q后再求an，这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1
，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运
算.
【变式训练】1.(2015·成都高一检测)已知等比数列
{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a7=( )
A.18 B.24 C.30 D.42
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q，由题意得
3+3q2+3q4=21，即q4+q2-6=0，解得q2=2或q2=-3(舍)，
所以a3+a7=3q2+3q6=3×2+3×23=30.
2.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a3=5，a1a3=4.
求数列{an}的通项公式.
【解析】由a1a3=4，a1+a3=5知，a1，a3是方程x2-5x+4=0
的两根.又因为an+1>an，所以a1=1，a3=4，
所以q2= =4，所以q=2或q=-2(舍去)，
故an=a1·qn-1=2n-1.
【误区警示】解答本题容易忽视数列{an}是递增的等
比数列，导致增解.
【补偿训练】在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，
a3+a6=9，an=1，求n.
【解析】因为
所以由①除以②得q= ，从而a1=32.
又因为an=1，所以32× =1，
所以 ，所以n=6.
类型二 等比中项的应用
【典例】1.(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)=x2-
px+q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三
个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等
比数列，则p+q的值等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，
其中a=5+2 ，c=5-2 ，则b=________.
【解题探究】
1.典例1中，如何确定a，b的符号？进一步如何找出关
于a，b的等量关系？
提示：由a+b=p>0，ab=q>0知a>0，b>0.
2.典例2中，a，b，c满足的关系是什么？
提示：b2=ac.
【解析】1.选D.由题意可得
所以a>0，b>0，不妨设a>b，所以等比数列为a，-2，b
或b，-2，a，从而得到ab=4=q，等差数列为a，b，-2
或-2，b，a，从而得到2b=a-2，两式联立解出a=4，
b=1，所以p=a+b=5，所以p+q=5+4=9.
2.因为三个正数a，b，c成等比数列，
所以b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1，
因为b>0，所以b=1.
答案：1
【方法技巧】应用等比中项解题的两个注意点
(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其
中a，b，G均不为零.
(2)已知等比数列中的相邻三项an-1，an，an+1，则an是
an-1与an+1的等比中项，即an
2=an-1an+1，运用等比中项解
决问题，会大大减少运算过程.
【变式训练】
1.已知a-1，a+1，a+4三个数成等比数列，则公比
q=________.
【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4)，
解得a=5，三个数依次为4，6，9，
公比q=
答案：
2.已知等差数列{an}满足：a1=2，a3=6.若将a1，a4，a5
都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则
所加的这个数为________.
【解析】设所加的数为x，
则(a4+x)2=(a1+x)·(a5+x)，
因为公差d=
所以a4=8，a5=10，
所以(8+x)2=(2+x)·(10+x)，解得x=-11.
答案：-11
【补偿训练】(2015·南阳高二检测)在等比数列{an}
中，若an=2n，则a7与a9的等比中项为( )
A.a8 B.-a8
C.±a8 D.前3个选项都不对
【解析】选C.因为数列{an}是等比数列，且an=2n，
所以a8
2=a7a9=27×29=(28)2，
所以a7与a9的等比中项为±28，即±a8.
类型三 等比数列的判定
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且
2an+1=Sn+2(n≥2).
(1)求a2，a3的值.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解题探究】典例中(1)根据哪些等式计算a2，a3？
典例中(2)为求数列{an}的通项公式，应先求什么？关
键是什么？
提示：典例中根据2a2=S1+2，2a3=S2+2计算a2，a3.为求
数列{an}的通项公式，应先求递推公式.关键是证明数
列{an}是等比(差)数列，或将数列{an}与等比(差)数列
联系起来.
【解析】(1)因为2a2=S1+2=a1+2=3，
所以a2= .
因为2a3=S2+2=a1+a2+2= ，所以a3= .
(2)因为2an+1=Sn+2，所以2an=Sn-1+2(n≥2)，
两式相减，得2an+1-2an=Sn-Sn-1.
所以2an+1-2an=an，则an+1= an(n≥2).
因为a2= a1，所以an+1= an(n∈N*).
因为a1=1≠0，所以
所以数列{an}是首项为1，公比为 的等比数列，
所以
【延伸探究】
1.(变换条件)将典例中条件“a1=1，且2an+1=Sn+2(n≥2)”
改为“3Sn=an-1(n∈N*)”，其他条件不变，结果如何？
【解析】(1)由3S1=a1-1，得3a1=a1-1，
所以a1=- .
由3S2=a2-1，得3a1+3a2=a2-1，解得a2= .
由3S3=a3-1，得3a1+3a2+3a3=a3-1，解得a3=- .
(2)当n≥2时，
an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)，
得
所以{an}是首项为- ，公比为- 的等比数列.
所以an=
2.(变换条件、改变问法)将典例中条件“a1=1，且
2an+1=Sn+2(n≥2)”改为“a1= ，an+1= ，n∈N*”，
其他条件不变，求证：数列 为等比数列.
【证明】因为
所以
因为 -1≠0，所以 ≠0(n∈N*)，
所以
所以 是等比数列.
【方法技巧】
1.判断一个数列是否是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足 =q(q为常数且不为零)
或 =q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等
比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1
≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若an+1
2=anan+2(n∈N*且an≠0)，则数
列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an+1=kan+b关系时，往往构
造数列，方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照，求
出x即可.
2.由等比数列“生成”的新等比数列
若数列{an}是公比为q的无穷等比数列，则
(1)数列{|an|}是公比为|q|的等比数列.
(2)数列 是公比为 的等比数列.
(3)数列{kan}(k≠0)是公比为kq的等比数列.
(4)若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公
比为qq′的等比数列.
【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求数
列{an}的通项公式.
【解析】因为Sn=2an+1，所以Sn+1=2an+1+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an，
所以an+1=2an，又因为S1=2a1+1=a1，
所以a1=-1≠0，又由an+1=2an知an≠0，
所以 =2，所以{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列.
所以an=-1×2n-1=-2n-1.
【延伸探究】1.(变换条件)将本题条件“Sn=2an+1”改
为“a1=1，{an+Sn}是公差为2的等差数列”，其他条件不
变，结果如何？
【解析】因为a1+S1=2a1=2，
所以等差数列{an+Sn}的首项为2，又因为公差为2，
所以an+Sn=2+2(n-1)=2n，①
所以an+1+Sn+1=2(n+1)，②
②-①得an+1-an+an+1=2，整理得2(an+1-2)=an-2，
又因为a1-2=-1≠0，所以an-2≠0，所以
所以数列{an-2}是首项为-1，公比为 的等比数列.
所以an-2= ，即an=2 .
2.(变换条件、改变问法)将本题条件“Sn=2an+1”改为
“a1=1，Sn+1=4an+1”，证明：数列{an+1-2an}是等比数
列.
【证明】由于Sn+1=4an+1，①
当n≥2时，Sn=4an-1+1.②
①-②，得an+1=4an-4an-1.
所以an+1-2an=2(an-2an-1)，n≥2
因为a1=1，且a1+a2=4a1+1，即a2=3a1+1=4.
所以a2-2a1=2，
故数列{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列.
易错案例 等比数列中项的设法问题
【典例】已知一个等比数列的前4项之积为 ，第2项
与第3项的和为 ，则这个等比数列的公比为
________.
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？
提示：错误的根本原因是对成等比数列的4个数的设法
出错.实际上设这4个数为 aq，aq3，公比为q2，
这就相当于规定了这个等比数列各项要么同为正，要
么同为负，而题设中无此规定.
【自我矫正】
设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，
由题意得 所以
所以
整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0，
解得q=3±2 或q=-5±2 .
答案：3±2 或-5±2
【防范措施】
1.关注等比数列中项的设法
(1)三个数成等比数列，常设为 ，a，aq(a≠0).
(2)四个数成等比数列，常设为a，aq，aq2，aq3，而
不设为 ， ，aq，aq3，这样设会因等比数列的公比
为q2而失根.
2.注意等比数列中项的变化规律
(1)各项均为正数.
(2)各项均为负数.
(3)正负间隔出现，即奇数项为正(负)，偶数项为负
(正).
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