2.4 等比数列
第1课时 等比数列
1.掌握等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.
3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列.
1.等比数列的概念
(1)定义：一个数列从______起，每一项与它的前一项的比
等于_________.
(2)公比：这个常数叫做等比数列的公比.
(3)公比的表示：________.
第2项
同一常数
q(q≠0)
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成_________，
那么G叫做a与b的等比中项，其满足的关系式为_____.
3.等比数列的通项公式
首项是a1，公比是q(q≠0)的通项公式为an=_____(a1≠0，
q≠0).
等比数列
ab=G2
a1qn-1
1.已知{an}是等比数列，a1=1，a4=2 ，则a3=( )
A.±2 B.2 C.-2 D.4
【解析】选B.因为a4=a1·q3，所以q3=
所以q= ，所以a3=a1q2=2.
2.已知数列{an}为等比数列，且a1=2，q=3，则an= .
【解析】由a1=2，q=3，所以an=2×3n-1.
答案：2×3n-1
3.若等比数列{an}的通项为an= ×5n，则a1= .
【解析】由通项an= ×5n，令n=1，得a1=
答案：
4.已知数列{an}为等比数列，若a2=2，a5= 则q= .
【解析】由 得 解得q=
答案：
一、等比数列的通项
探究1：观察等比数列的通项公式an=a1qn-1，思考下面的问
题：
(1)公式中的q能否为零？请说明理由.
提示：不能，根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项
的比即： =q，若q=0，则an=0，所以数列中每一项都为
零，所以an-1=0，这样比值 无意义，所以q≠0.
(2)要想确定等比数列的通项公式，需要具备哪几个条件？
提示：由等比数列的通项公式an=a1qn-1，要确定其通项公式，
必须知道a1，q两个条件.
探究2：根据等比数列的定义，如何推导出等比数列的通项公
式？
提示：由等比数列的定义，
以上各式相乘可得an=a1qn-1(a1≠0，q≠0).
【拓展延伸】等比数列通项公式的两种证法
(1)归纳法：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q=a1q2，
a4=a3q=a1q3，…，an=an-1q=a1qn-1.
(2)迭代法：an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2
=a1qn-1.
【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明
(1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量，只要知其中任意
3个，可求第四个基本量.
(2)通项公式的推导方法采用的是累乘法，该方法是求数列通
项公式常用的方法.
二、等比数列的判定
探究1：根据等比数列的定义，判断下面的数列是否为等比数
列？
(1)1，3，32，33，…，3n-1，…
提示：记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…，由
于 =3(n≥2，n∈N*)，所以该数列为等比数列，公比
为3.
(2)-1，1，2，4，8，…
提示：记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…
由于
所以此数列不是等比数列.
(3)a，a2，a3，…，an，…
提示：当a=0时，数列为0，0，0，…，是
常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a，a2，a3，…，an
，…，显然此数列为等比数列且公比为a.
探究2：在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需
要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
(2)比值 为同一个常数.
(3)数列中的每一项都不能为0.
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
只需判断什么？
提示：只需判断 是否为同一个常数.
【探究总结】等比数列判定的三点说明
(1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项的比.
(2)必须说明是从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数.
(3)若公比为1，则该数列为常数列，也为等比数列.
类型一 等比数列中基本量的求解
1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7等于( )
A.64 B.81 C.128 D.243
2.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数
列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )
A.2 B.-2 C. D.-
3.(2014·济宁高二检测)已知数列{an}为递增的等比数列，
其中a2=9，a1+a3=30.求数列{an}的通项公式.
【解题指南】1.根据条件a1+a2=3，a2+a3=6求出公比和首项，再
根据等比数列的通项公式求出a7.
2.根据S1，S2，S4成等比数列建立关于a1的方程求解.
3.先根据a2=9，a1+a3=30，求出q，再代入等比数列的通项公式
求得.
【自主解答】1.选A.因为{an}为等比数列，所以 =q=2.
又a1+a2=3，所以a1=1.故a7=1×26=64.
2.选D.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S2
2=S1·S4，
即(a1+a1-1)2=a1(4a1－ ×4×3)，解得a1=- .
3.设等比数列的公比为q，又由已知a2=9，a1+a3=30，
可得 +9q=30，解得q=3或q=
由已知，数列为递增数列，所以q=3，
即an=a2qn-2=9×3n-2=3n.
【规律总结】等比数列中任意项求解的两种方法
(1)若已知a1和q，利用通项公式an=a1qn-1可求等比数列中的任
意一项.
(2)若已知等比数列中任意两项的前提下，利用an=amqn-m可求等
比数列中任意一项.
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= an= q=
则n为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以an=a1qn-
1= 所以 即n-1=3，n=4.
【加固训练】在等比数列{an}中，若2a4=a6-a5，则公比q是
.
【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4，即2=q2-q，
所以q=-1或q=2.
答案：-1或2
类型二 等比中项及应用
1.(2014·济宁高二检测)已知等比数列{an}中，a1=2，a5=18，
则a2a3a4等于( )
A.36 B.216
C.±36 D.±216
2.(2015·兰州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}中，
a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=( )
A.5 B.7 C.6 D.4
3.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则an=
.
【解题指南】1.由a1，a3，a5成等比数列，求出a3，再由a2，a3，
a4成等比数列，求出a2·a4.
2.根据等比中项得a2，a8，从而得q，进而求出a5，得a4a5a6.
3.由a-1，a+1，a+4成等比数列，根据等比中项的概念求出a
的值，从而得出通项.
【自主解答】1.选B.由a1，a3，a5成等比数列，
故a3
2=a1·a5=36，所以a3=6或a3=-6(舍)，
又a2，a3，a4成等比数列，
所以a2·a4=a3
2，
故a2·a3·a4=a3
3=63=216.
2.选A.由a1a2a3=5，所以a2=
又a7a8a9=a8
3=10，故a8=
所以 =q6= ，所以q=
所以a4a5a6=a5
3=(a2·q3)3=a2
3·q9=( )3·( )9=
3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4)，
解得a=5，所以a1=4，a2=6，所以q=
所以an=
答案：
【规律总结】等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知 ⇒G2=ab⇒G=± ，所以只
有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中
项.
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项
除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a，G，b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
【变式训练】
1.在等比数列{an}中，a1=-16，a4=8，则a7=( )
A.-4 B.±4 C.-2 D.±2
【解析】选A.因为数列{an}为等比数列，所以a4
2=a1·a7，
所以a7= =-4.
2.若a=45，b=80，则a，b的等比中项为 .
【解析】设a，b的等比中项为G，则G2=ab=45×80=3 600，所以
G=±60.
答案：±60
【加固训练】如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( )
A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9
【解析】选B.因为b2=(-1)×(-9)=9，且b与首项-1同号，所以
b=-3，且a，c必同号.
所以ac=b2=9.
类型三 等比数列的证明
1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A.{an+bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B.{an+bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C.{an+bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D.{an+bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
2.在数列{an}中，若an+1=2an+3(n≥1，n∈N*)，
证明：数列{an+3}是等比数列.
【解题指南】1.对于能构成等比数列的利用等比数列的定义
判定，而构不成等比数列的可通过特例说明.
2.根据等比数列的定义，只需证明 等于常数即可.
【自主解答】1.选C.{an+bn}不一定是等比数列，如an=1，bn=
-1，因为an+bn=0，所以{an+bn}不是等比数列.设{an}，{bn}的
公比分别为p，q，因为 =pq≠0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为a1+3，公比为q=2的等比数列.
【延伸探究】题2条件不变，若a1=2，求数列{an}的通项公式.
【解析】由数列{an+3}是等比数列，当a1=2时，a1+3=5，所以
数列{an+3}是首项为5，公比q=2的等比数列，所以an+3=
5×2n-1，
即an=5×2n-1-3.
【规律总结】证明一个数列为等比数列的三种方法
(1)定义法：验证 =q(常数)是否成立.
(2)等比中项法：证明an+1
2=anan+2，注意an≠0.
(3)通项公式法：证明an=a1qn-1，这里a1≠0且q≠0.
提醒：利用等比数列的定义证明数列为等比数列时必须说明
为同一常数.
类型四 等比数列中常见项的设法
1.(2014·绍兴高一检测)在3和9之间插入两个正数，使前3个
数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为
( )
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三
项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，
那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再
由后三个数成等差数列列方程求解.
2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方
程组求解.
【自主解答】1.选B.设这两个正数为3q，3q2，则3q，3q2，9
成等差数列，所以6q2=3q+9，即2q2-q-3=0，
解得q= ，q=-1(舍)，所以这两个数为 ，其和为
2.设所求的等比数列为 ，a，aq.
由已知条件，得
化简，得 解得 或
由q=3，a=6得所求数列为2，6，18.
由q=-5，a= 得所求数列为
经检验，均符合题意，
故所求的等比数列为2，6，18或
【规律总结】几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为 ，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：
… ， ，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：
， ，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：
… ， ， ，aq，aq3，aq5…
【变式训练】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等
差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
【解析】设前三个数为 x，xq，第四个数为b，
因为后三个数成等差数列，所以有2xq=x+b，
解得b=2xq-x.
因首末两项的和为21，中间两项的和为18，
所以有 解得 或
故所求的四个数为3，6，12，18或
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