第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合
符号表示这些角.
明目标、知重点明目标、知重点
1.角的概念
(1)角的概念:角可以看成平面内 绕着 从一个
位置 到另一个位置所成的图形.
一条射线
填要点·记疑点
端点
旋转明目标、知重点
类型 定义 图示
正角 按 形成的角
负角 按 形成的角
零角
一条射线 ,称它
形成了一个零角
逆时针方向旋转
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类
顺时针方向旋转
没有作任何旋转明目标、知重点
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,
角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是 .如果
角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β
= },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成
角α与 的和.
第几象限角
α+k·360°,k∈Z
整数个周角明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
过去我们学习了0°~360°范围的角,但在实际问题中还会遇
到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常
听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”
等这样的解说.因此,仅有0°~360°范围内的角是不够的,我
们必须将角的概念进行推广. 明目标、知重点
探究点一 角的概念的推广
思考1 我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发
的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不能表示具
有相反意义的旋转量.那么,从“旋转”的角度,对角如何重新定义?
正角、负角、零角是怎样规定的?
答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角,射
线OA叫角的始边,OB叫角的终边,O叫角的顶点.
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫
做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.明目标、知重点
思考2 如图,已知角α=120°,根据角的定义,则
β、-α、-β、γ分别等于多少度?
答 -240°;-120°;240°;480°.
思考3 经过10小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
答 经过10小时,时针旋转形成的角是-300°,分针旋转形成的角
是-3 600°.明目标、知重点
探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 象限角定义中说:角的始边与x轴的非负半轴重合,如
果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么?
答 不行,因为始边包括端点(原点).明目标、知重点
思考2 是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?终边落
在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的
角,请完成下表.
答 不是,因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上;如果角的终
边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.明目标、知重点
终边所在的位置 角的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
{α|α=k·360°+270°,k∈Z}明目标、知重点
思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α终边所在的象限 角α的集合
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
{α|k·360°