高一数学人教A版必修4课件：1.2.1 任意角的三角函数（二） .pptx

第一章 三角函数 §1.2 任意角的三函数 1.2.1　任意角的三角函数(二)明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 明目标、知重点明目标、知重点 1.三角函数的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的 定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是 . 填要点·记疑点明目标、知重点 2.三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于 P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 段 、 、 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线.记作：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ . MP OM AT MP OM AT明目标、知重点明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函 数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个 图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函 数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角 函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.明目标、知重点 探究点一　三角函数线的概念及其作法明目标、知重点明目标、知重点 思考2　若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y) ，则sin α＝y，cos α＝x都是负数，此时角α的正弦值 和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、 OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的 坐标一致？ 答　过角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足 为M，则，－|MP|＝y＝sin α，－|OM|＝x＝cos α.明目标、知重点 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方 向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点， 另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负 值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时 为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM与x轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向 为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况明目标、知重点 都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ＝y＝sin α. 小结　我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.明目标、知重点 思考3　当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答　 如下图：明目标、知重点 探究点二　三角函数线的应用 导引　三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的 大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1　若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？ 答　根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 －1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.明目标、知重点 思考2　设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？ 答　设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为 M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即 sin α＋cos α>1.明目标、知重点 思考3　若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 探究sin2α＋cos2α与1的关系？ 答　当α的终边落在x轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边落在y轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1； 当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1. 综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.明目标、知重点 解　明目标、知重点 反思与感悟　作已知角的正弦线、余弦线、正切线时， 要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的 方向，对于以后研究三角函数很有用处.明目标、知重点 解析　分别在单位圆中作出它们的三角函数线， 由图可知：明目标、知重点 例2　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由 此写出角α的集合：明目标、知重点 　①　　　　　　　　②明目标、知重点明目标、知重点 反思与感悟　利用单位圆中三角函数线，可以非常直 观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角 的范围，起到“以形助数”的作用.明目标、知重点 跟踪训练2　已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π) 内，求α的取值范围.明目标、知重点 探究点三　利用三角函数线求函数的定义域 思考　任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围 是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知 正弦函数y＝sin x的定义域是 ；余弦函数y＝cos x的定义域 是 ；正切函数y＝tan x的定义域是 .在此基础上，可以求一些简单的三角函数 的定义域.例如： R R {x|x∈R，且x≠kπ明目标、知重点 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}明目标、知重点 解　由题意，得自变量x应满足不等式组明目标、知重点 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，明目标、知重点 反思与感悟　求三角函数定义域时，一般应转化为 求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是 解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先 在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再 取公共部分.明目标、知重点 如图所示.明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 4 1.角α(0　(3)