第2课时
等比数列的性质
【知识提炼】
1.等比数列的项与序号的关系
两项关系 an=am·____(n，m∈N*)
多项关系
若{an}为等比数列，且m+n=p+q
(m，n，p，q∈N*)，则____________
qn-m
am·an=ap·aq
2.等比数列的单调性
公比q
单调性
首项a1
q>1 01，但此数列是递减数列.
答案：(1)√ (2)× (3)×
2.等比数列{an}中，a5=3，q= ，则a3=( )
【解析】选D.因为数列{an}是等比数列，所以a5=a3q2，
所以3=a3× ，所以a3=12.
3.若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的
是( )
A.a2+a5=a1+a6 B.a1a9=a10
C.a1a9=a3a7 D.a1a2a7=a4a6
【解析】选C.以等比数列{3×2n}为例进行检验，可知
A，B，D均不成立.对于C，因为a1a9=a1
2q8，a3a7=a1
2q8，
所以a1a9=a3a7.
4.已知摆动数列{an}是等比数列，且a2=1，a4=16，则
公比q为________.
【解析】由题意得q2= =16，
所以q=±4，又因为数列{an}是摆动数列，
所以q=-4.
答案：-4
5.在等比数列{an}中，a10+a11= ，a11+a12=2，则公比
q=________.
【解析】因为a11+a12=(a10+a11)q，所以q=
答案：
【知识探究】
知识点1 等比数列通项公式的推广
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？
问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什
么？
【总结提升】
1.等比数列通项公式推广形式的证明
设等比数列{an}的公比为q，则
an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，n∈N*，两式相除得
所以an=amqn-m.
2.等比数列通项公式的推广形式的作用
(1)求等比数列的公比.
(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn
-m，可求出等比数列的任何一项.
知识点2 等比数列的性质
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列{an}中，若m+n=s+t，则aman=asat，该
结论是如何证明的？
问题2：已知数列{an}是等比数列，还有哪些与该数列
有关的等比数列呢？
【总结提升】
1.等比数列中四项关系的性质及证明
若等比数列{an}中，m，n，s，t∈N*且m+n=s+t，
则aman=asat.
证明：设等比数列{an}的公比为q，
aman= a1qm-1·a1qn-1=a1
2qm+n-2，
asat= a1qs-1·a1qt-1=a1
2qs+t-2，
因为m+n=s+t，所以aman=asat.
2.等比数列的“子数列”的性质
数列{an}是公比为q的无穷等比数列.
(1)去掉数列{an}的前m项后余下的项仍组成公比为q的
等比数列.
(2)奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列；偶数项
数列{a2n}是公比为q2的等比数列.
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺
序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.
【题型探究】
类型一 等比数列通项公式的推广和应用
【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)等比数列{an}满足a1=3，
a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
2.已知等比数列{an}为递增数列，且a5
2=a10，2(an+an+2)=
5an+1，则数列的通项公式an=________.
【解题探究】1.典例1中，解题的基本思路是什么？
提示：利用条件a1=3，a1+a3+a5=21求出公比，再利用
a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值.
2.典例2中，an+2，an+1与an有什么关系？
提示：an+2=anq2，an+1=anq.
【解析】1.选B.设等比数列的公比为q，则
a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，
所以q4+q2-6=0，解得q2=2，
a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
2.设等比数列的公比为q.
因为a5
2=a10，所以(a1q4)2=a1q9，所以a1=q，
所以an=qn.因为2(an+an+2)=5an+1，
所以2an(1+q2)=5anq，
所以2(1+q2)=5q，解得q=2或q= (舍去)，
所以an=2n.
答案：2n
【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧
(1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由an
=amqn-m可得qn-m= ，进一步计算公比.
(2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列
的通项公式.
(3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相
同项数的和之间的关系，如a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3.
【变式训练】已知数列{an}为等比数列，且a1a9=64，
a3+a7=20，求a11.
【解析】因为数列{an}为等比数列，
所以a1·a9=a3·a7=64，又因为a3+a7=20，
所以a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
所以a3=4，a7=16或a3=16，a7=4.当a3=4时，
a3+a7=a3+a3q4=20，
所以1+q4=5，所以q4=4.
当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20，
所以1+q4= ，所以q4= .
所以a11=a1q10=a3q8=64或1.
【补偿训练】
1.在等比数列{an}中，a2 012=8a2 009，则公比q的值
为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】选A.因为 =q3=8，所以q=2.
2.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am=3，am+5=24，
则am+15=________.
【解析】因为 =q5=8，又因为 =q10=(q5)2=82.
所以am+15=am·q10=24×82=1 536.
答案：1 536
类型二 等比数列性质的应用
【典例】在等比数列{an}中，已知a4a7=-512，
a3+a8=124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式.
【解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性
质进行转化？如何转化？
提示：条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l，则
aman=akal”转化为a3a8=-512.
【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.
解方程组
得
因为q为整数，所以q= =-2，
所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124，
且公比为整数”改为“a7·a11=6，a4+a14=5”，则结果
又如何？
【解析】因为数列{an}是等比数列，
所以a4·a14=a7·a11=6.解方程组
得
所以
所以an=a4qn-4=2×
2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件
改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.
【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.
联立
可解得
当 时，q3=- ，故a1+a10= +a7q3=-7；
当 时，q3=-2，同理，有a1+a10=-7.
【方法技巧】巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，
解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时
运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析
等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维
含量.
【补偿训练】若等比数列{an}的各项均为正数，且
a10a11+a9a12=2e5，求lna1+lna2+…+lna20.
【解析】方法一：各项均为正数的等比数列{an}中，
a10a11=a9a12=…=a1a20，
则a1a20=e5，
lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
方法二：各项均为正数的等比数列{an}中，
a10a11=a9a12=…=a1a20，
则a1a20=e5，
设lna1+lna2+…+lna20=S，
则lna20+lna19+…+lna1=S，
2S=20ln(a1a20)=100，S=50.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为
“a3·a9=2a5
2，a2=2”，其他条件不变，结果又如何？
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a6
2，又因
为a3a9=2a5
2，所以2a5
2=a6
2，又因为an>0，所以 a5=a6，
所以公比q= 又因为a2=2，
所以an=
所以lna1+lna2+…+lna20
=ln(a1·a2·…·a20)=
2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12
=2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+
log3a10的值.
【解析】log3a1+log3a10
=log3(a1·a10)=log3(a3·a8)=log39=2.
类型三 等差、等比数列的综合问题
【典例】1.(2015·襄阳高一检测)等比数列{an}中，
a1=512，公比q=- ，记Tn=a1×a2×…×an，则Tn取最大
值时n的值为( )
A.8 B.9 C.9或10 D.11
2.(2015·湖州高一检测)已知数列{an}满足：a1=2，
an+1=an
2-kan+k(k∈R)，a1，a2，a3分别是公差不为零的
等差数列{bn}的前三项.
(1)求k的值.
(2)求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能成等比
数列.
【解题探究】1.典例1中，Tn符号的变化规律是什么？
如何将|Tn|表示为关于n的函数？
提示：从第1项开始Tn的符号变化规律成正、负、负、
正周期变化.利用等比数列的通项公式、指数运算的法
则和等差数列求和公式，可将|Tn|表示为关于n的函数.
2.典例2第(1)问中a1，a2，a3满足什么关系？如何用k
表示a2，a3？第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列，
则可推出什么结果？
提示：第(1)问中2a2=a1+a3，根据a1=2，a2=a1
2-ka1+k，
a3=a2
2-ka2+k，可用k表示a2，a3.第(2)问中若bn，b2n，
b4n能成等比数列，则可推b2n
2=bn·b4n.
【解析】1.选B.an=a1qn-1=512×
=(-1)n-1×29×21-n=(-1)n-1×210-n.
所以|Tn|=|a1×a2×…×an|
=29+8+…+10-n=
所以当n=9或10时，|Tn|最大.
又因为T100，所以T9最大.
2.(1)因为a1=2，所以a2=4-k，a3=2k2-11k+16.
又因为2a2=a1+a3，所以2k2-9k+10=0，解得k=2或 ，
又因为{bn}的公差不为零，所以k= .
(2)由(1)知，bn=
假如bn，b2n，b4n成等比数列，则bnb4n=b2n
2.
代入化简得：(5-n)(5-4n)=(5-2n)2，解得n=0.
与n∈N*矛盾，故bn，b2n，b4n不可能成等比数列.
【延伸探究】在典例1的条件下，试分析T2016的符号.
【解析】由于等比数列{an}中a1>0，q=- 0.
【方法技巧】解决等差、等比数列的综合问题应注意
的四个方面
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.
(2)对于解答题注意基本量及方程思想.
(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构
造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质
解题.
(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的
项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在
联系.
【变式训练】已知在等差数列{an}与等比数列{bn}中，
公差与公比均为d(d>0，且d≠1).若a1=b1，a3=3b3，
a5=5b5，求它们的通项公式.
【解题指南】由条件可建立a1与d的方程组求解.
【解析】因为an=a1+(n-1)d，bn=b1qn-1=a1dn-1，
所以由 得
②-①×2，得5a1d4-6a1d2+a1=0.
因为a1≠0，所以5d4-6d2+1=0.
解得d2= 或d2=1，又因为d>0，且d≠1，
所以d= .代入①，得a1=- .
所以an=a1+(n-1)d=
bn=b1dn-1=a1dn-1=
【补偿训练】已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=
(n∈N*).
(1)若a8+a13=m，求b1·b2·…·b20.
(2)若b3·b5=39，a4+a6=3，求b1·b2·…·bn的最大值.
【解析】(1)易证得{an}是以log3q为公差的等差数列(q
为等比数列{bn}的公比).
又因为a8+a13=m，所以b1b20=
所以b1·b2·…·b20=(b1b20)10=310m.
(2)由b3·b5=39，得a3+a5=9.又因为a4+a6=3，
所以d=-3，a1= ，所以an= +(n-1)·(-3).
于是a1+an= + +3-3n=30-3n，所以b1·b2·…·bn
=
所以，当n=5时，b1·b2·…·bn取得最大值 .
拓展类型 等比数列的实际应用
【典例】1.已知某猪场的猪每一年都在上一年存栏的
基础上增加一倍，并且每年卖出500头，该猪场2015年
卖出后存栏数为1 000头，则到________年时，该猪场
的猪的存栏数开始超过1 024 500头.
2.“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹果，
第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一
个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成五
等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份.以
后的三只都是如此，则最初至少有多少个苹果？最后
至少剩下多少个苹果？
【解析】1.设2015年，2016年，2017年，…，n年，…，
猪场的猪的存栏数依次为a1，a2，a3，…，an，….
由题意得a1=1000，an=2an-1-500，n≥2，n∈N*，
所以an-500=2(an-1-500)，
所以{an-500}是一个首项为500，公比为2的等比数列，
所以an-500=500·2n-1，an=500+500·2n-1，
令500+500·2n-1>1 024 500，得2n-1>2 048.
解得n>12，即a13>1 024 500.
所以13+2015-1=2027.
故2027年猪场的猪的存栏数超过1 024 500头.
答案：2027
2.设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次
为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得，
an+1=an-1- (an-1)=
不难得出an+1+4= (an+4)，
所以an+4=(a1+4) ，n=1，2，3，4，5，6.
所以a6=(a1+4)· -4.
又因为a6是整数，所以a1+4的最小值是55，
即a1的最小值是55-4=3 121.即最初至少有3 121个苹果，
从而最后至少剩下a6=45-4=1 020个苹果.
【方法技巧】解等比数列应用题的一般步骤
【补偿训练】从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L，然后
加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续
下去……，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a=2，
至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%？
【解析】第一次取出纯酒精1L，
加水后，浓度为 记为a1=1- .
第二次取出纯酒精 ·1L，
再加水后，浓度为
记为a2=
…
依次类推，第n次取出纯酒精 ·1L，
再加水后，浓度为 ，记为an= .
当a=2时，由an=
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