人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和 教学能手示范课 .ppt

2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公 式求等比数列的前n项和． 2．掌握前n项和公式的推导方法． 1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项 和Sn＝________. 答案：na1 2．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项 和Sn＝________＝________. 自学导引 1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？ 自主探究 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． (2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图 象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q ＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比 例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点． 2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列 吗？ 答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等 比数列． 1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(  ) 预习测评 【解析】要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n. 答案：D 2．数列{2n－1}的前99项和为 (  ) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 答案：C 3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1， 则其公比为__________． 答案：3或－4 答案：1 1．等比数列前n项和公式的推导 设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和 是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ① ①式两边同乘以q得， qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ② ①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时， 要点阐释 当q＝1时，Sn＝na1. 以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中 学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会 ． 特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通 项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其 中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出 其余两个量，俗称“知三求二”． (2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条 件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在 解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 q≠1与q＝1两种情况． 2．等比数列的判定方法 (1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)⇔ {an}为等比数列． (2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数， n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3) ＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0， n∈N*)⇔{an}是等比数列． 题型一 等比数列前n项和公式的基本运算 典例剖析 【例1】 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等 比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想， 解决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的 求和问题中，经常使用整体代换的思想． (2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意 讨论公比q＝1和q≠1两种情况． 若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式 ？ 题型二 错位相减法求和 2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． (2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 题型三 判断等比数列 【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1 ；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？ 解：{an}是等比数列，理由如下： a1＝S1＝a2－1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1) ＝(a2－1)a2n－2， 此时，n＝1时，a1＝a2－1. ∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)． 即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列． 方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结 合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别 注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－ 1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列， 否则数列{an}不是等比数列． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 误区解密 漏掉q＝1而导致错误 【例4】 在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an} 的前n项和Sn. 错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是 否等于1，否则将导致错误． 课堂总结 2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中， 由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其 余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有 关的实际问题． 3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理 解数列特征及掌握求和方法．