人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.1 等比数列的前n项和 探究导学课型 .ppt

2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法. 2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题. 等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项、项数与公比 选用 公式 1.等比数列 …的前10项和等于(  ) 【解析】选C.因为数列 …是首项为 ，公比为 的 等比数列，所以S10= 2.等比数列 …从第3项到第7项的和为    . 【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数 列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和 为S= 方法二：由题意得，此等比数列的首项为 ，公比为 ， 所以S7= ，所以从第3项到第7项的和为 答案： 3.对于等比数列{an}，若a1=5，q=2，Sn=35，则an=    . 【解析】由Sn= ，得an= =20. 答案：20 一、等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+…+an， 即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ① 用q同乘以①式的两边，得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn  ② ①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn， 当q≠1时，得Sn= 探究1：①式两边为什么要同乘以q？ 提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得 到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项， 得到有限项，从而求出数列的前n项和. 探究2：①式减②式的目的是什么？ 提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限 项. 探究3：在推导Sn= (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 当q=1时，Sn等于多少呢？ 提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和 Sn=na1. 【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若 知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分情 况选取合适的公式求解. 【拓展延伸】等比数列的前n项和公式的其他推导方法 方法一：Sn= a1+a2+…+an =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(等比数列定义) =a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1 =a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)， 所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q≠1， 所以Sn= 方法二：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a2q+…+an-1q(等比数列定义) =a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an) =a1+qSn-anq， 所以(1-q)Sn=a1-anq，因为q≠1， 所以Sn= 方法三：q= (等比数列定义) (比例的性质)， 所以q(Sn-an)=Sn-a1，(1-q)Sn=a1-anq. 因为q≠1，所以Sn= 二、等比数列前n项和的性质 根据Sn= (q≠1)探究以下问题： 探究1：一个数列{an}的前n项和写成Sn=Aqn+B(q≠1)，若此数 列是等比数列，则A+B=0吗？反之成立吗？ 提示：等于.反之也成立.因为Sn= 则常数项与qn的系数互为相反数，即A+B=0.反之，若A+B=0， 则数列是等比数列.当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1). 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =Aqn-Aqn-1=(q-1)·Aqn-1， 又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1， 所以an=A(q-1)qn-1，所以{an}是等比数列. 探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公 比为多少？ 提示：Sk=a1+a2+…+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为Sk ，公比为qk. 【探究总结】等比数列前n项和的四条常用性质 (1)数列{an}是等比数列，则Sn=Aqn-A(A≠0). (2)若等比数列{an}共有2n项，则 =q. (3)如果{an}为公比为q的等比数列，对∀m，p∈N*有 Sm+p=Sm+qmSp. (4)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m-Sm， S3m-S2m，…，成公比为qm的等比数列. 类型一 等比数列前n项和的基本计算  1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为 的等比数列 {an}的前n项和为Sn，则(  ) A.Sn=2an-1       B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 2.(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0， a2= 则{an}的前10项和等于(  ) A.-6(1-3-10) B. (1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 3.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3， 求此数列的公比q. 【解题指南】1.利用等比数列的前n项和公式Sn= 或利 用Sn= 结合an求解. 2.由3an+1+an=0求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式 确定数列的前10项的和. 3.分情况讨论，当q≠1时，根据S3=3a3建立首项与公比的方程 求解. 【自主解答】1.选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比 为 Sn= 所以Sn=3-2an. 方法二：结合Sn= 观察四个选项可知选D. 2.选C.因为3an+1+an=0，则 又a2= 所以a1=4，所 以数列{an}是首项为a1=4，公比q= 的等比数列.故S10= 3.当q=1时，S3=3a3，符合题意； 当q≠1时，由S3=3a3，得 =3a1q2， 因为a1≠0，所以1-q3=3q2(1-q)， 所以(q-1)2(2q+1)=0，所以q= 综上，q=1或q= 【延伸探究】题3中，若S3=2S2，则公比q等于多少. 【解析】由题意知q≠1，a1≠0，由S3=2S2得， 所以q3-2q2+1=0， 即(q-1)(q2-q-1)=0，解得q= 【规律总结】等比数列前n项和运算的注意事项 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. (2)对于等比数列有关基本量的计算，列方程组求解是常用方 法，通常用约分或相除的方法进行消元. (3)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个基本量，若已知 其中三个量就可求出其余两个量，常常利用列方程组的方法来 解决. 类型二 等比数列前n项和性质的简单应用  1.(2014·石家庄高二检测)已知等比数列的前4项的和为1，且 公比q=2，则数列的前8项的和等于(  ) A.17    B.16    C.15    D.14 2.(2015·重庆高二检测)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若 S6=1，S12=3，则S18=    . 3.一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的 4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式. 【解题指南】1.根据S4与S8-S4的关系求出S8-S4，再求S8. 2.根据性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列求解. 3.可设出数列的奇数项之和和偶数项之和，根据所有项之和等 于偶数项之和的4倍，找出奇数项之和与偶数项之和的关系， 进而求出公比，再求出首项，即可得出通项. 【自主解答】1.选A.因为a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16，所以 S8=16+1=17. 2.根据Sn为等比数列{an}的前n项和， 有(S12-S6)2=S6(S18-S12)， 将S6=1，S12=3代入，计算得S18=7. 答案：7 3.设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之 和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q= 又因为a1·a1q·a1q2=64，所以a1 3·q3=64，即a1=12，故所 求通项公式为an= 【规律总结】等比数列前n项和性质应用的关注点 (1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶 数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数 项和之间的关系求解. (2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m ，…成等比数列. 【拓展延伸】等比数列各项乘积的性质 在等比数列{an}中，公比为q，Tn为其前n项的积，则Tn， ， 成等比数列： 因为Tn=a1·a2·…·an， T2n=a1·a2·…·an·an+1·…·a2n =(a1·a2·…·an)·(a1qn·…·anqn) =(a1·a2·…·an)2qn2=Tn 2qn2， T3n=a1·a2·…·a2n·a2n+1·…·a3n =Tn 2qn2(a1q2n·…·anq2n)=Tn 2qn2(a1·…·an)q2n2=Tn 3q3n2. 又 所以Tn， ， 成等比数列，且公比为qn2. 【变式训练】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若 Sn=2，S3n=14，则S4n=   . 【解析】设S2n=x，S4n=y，则2，x-2，14-x，y-14成等比数 列，所以 所以 或 (舍去)，所以S4n=30. 答案：30 【加固训练】若等比数列{an}的公比为 ，且a1+a3+…+a99 =60，则{an}的前100项和为    . 【解析】令X=a1+a3+…+a99=60，Y=a2+a4+…+a100， 则S100=X+Y， 由等比数列前n项和性质知： =q= ， 所以Y=20，即：S100=X+Y=80. 答案：80 类型三 数列在生活中的应用  1.(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第 一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最 少天数n(n∈N*)等于         . 2.(2014·包头高二检测)从盛满aL(a>1)纯酒精的容器里倒出 1L，然后灌满水，现倒出1L混合液后又用水灌满，如此继续下 去，问第n次操作后溶液中酒精的质量分数是多少？ 若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%？ 【解题指南】1.转化为等比数列前n项和的问题. 2.分别求出操作1次，2次，3次后溶液的质量分数，从而得出 操作n+1次与第n次的关系，进而求解. 【自主解答】1.记第n天植树的棵数为an，则数列{an}是以2为 首项，2为公比的等比数列，由Sn= ≥100得最少天数 为6. 答案：6 2.由题意得a1=1- ，操作2次后溶液中酒精的质量分数为 操作第3次后溶液中酒精的质量分数是a3=a2 ，依题意得： an+1=an 所以{an}是以1- 为首项，1- 为公比的等比数列. 所以an=a1·qn-1= 即第n次操作后酒精的质量分数为 当a=2时，由an= 得n≥4， 所以至少应倒4次后才能使酒精的质量分数低于10%. 【规律总结】解决数列应用题的思路和方法 (1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还 是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞 清是求an还是求Sn. (2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当 引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数 学式子表达出来. (3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. 提醒：数列应用问题，搞清是求通项还是前n项和是解题的关 键. 【变式训练】一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？ 【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得 an+1= an，因此，数列{an}是首项a1=25，公比q= 的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn=a1+a2+…+an= 所以这个热气球上升 的高度不能超过125m. 【加固训练】为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口 总量不能超过80吨，该矿区计划从2016年开始出口，当年出口 a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2016年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达 式. (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口， 问2016年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据： 0.910≈0.35. 【解析】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1=a，公比q=1-10%=0.9，所以an=a·0.9n-1(n∈N*). (2)10年的出口总量S10= =10a(1-0.910)，因为S10≤80，所以10a(1-0.910)≤80，即 a≤ ，所以a≤12.3.故2016年最多出口12.3吨.