角平分线（二）演示文稿.ppt

  习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线，你发现了什么? 用心想一想，马到功成   发现：三角形的三个内角 的角平分线交于一点．这一点 到三角形三边的距离相等． 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的 角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同 样的结论?与同伴交流． D F E MN CB A P 用心想一想，马到功成 D E F MN CB A P 证明：三角形三条角平分线相交于一点． 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． 定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等． 三角形角平分线的性质定理 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角 形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内 一点钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点 的距离相等 到三角形三边 的距离相等 如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路 ，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 P 1P l3 l 2 1l C B A http://www.bnup.com.cn [例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 D A B E C (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm． [例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 D A B E C (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 课堂小结, 畅谈收获： 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明 了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形 各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定 理等解决了几何中的计算和证明问题． 课内拓展延伸 如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长. CB A ED O