高一数学人教A版必修4课件：1.3 三角函数的诱导公式（一） .pptx

第一章 三角函数 §1.3 三角函数的诱导公式(一) 明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 化简和证明问题. 明目标、知重点明目标、知重点 相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于 对称 －α与α 关于 对称 π－α与α 关于 对称 1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的 对称关系如表 原点 填要点·记疑点 x轴 y轴明目标、知重点 2.诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ， tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ . (3)公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ . (4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝ . sin α cos α tan α －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α sin α －cos α －tan α明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等， 即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数 转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角 函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是 本节学习的内容.明目标、知重点 探究点一　诱导公式二 思考1　设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边 与角α的终边有什么关系？ 角π＋α的终边与单位 圆的交点P2的坐标如何？ 答　 角π＋α与角α的终边关于原点O对称； P2(－x，－y)明目标、知重点 思考2　根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的 值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与 α的三角函数有什么关系？ 答　 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，明目标、知重点 诱导公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.明目标、知重点 思考3　公式二有何作用？ 答　第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：明目标、知重点 探究点二　诱导公式三 思考1　设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与 角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位 圆的交点P2坐标如何？ 答　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称； 角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).明目标、知重点明目标、知重点 即诱导公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.明目标、知重点 思考3　诱导公式三有何作用？ 答　 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.明目标、知重点 思考1　利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结 论？ 答　 由诱导公式二和诱导公式三可得： sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α， cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α. tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tan α. 探究点三　诱导公式四明目标、知重点 即sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 即诱导公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.明目标、知重点 思考2　诱导公式四有何作用？ 答　将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角 函数.明目标、知重点 思考3　 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋ α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关 系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 答　2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同 名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记 为“函数名不变，符号看象限”！明目标、知重点 例1　利用公式求下列三角函数的值： (1)cos 225°； 解　(1)cos 225°＝cos(180°＋45°)明目标、知重点明目标、知重点 (4)cos(－2 040°).明目标、知重点 反思与感悟　利用诱导公式求三角函数值时，先将不 是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角 函数，或先将负角转化为正角后再转化到 范围内 的角的三角函数值.明目标、知重点 跟踪训练1　求下列三角函数值.明目标、知重点明目标、知重点 (3)tan(－855°). 解　tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.明目标、知重点 解　sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)] ＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α， cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)] ＝cos(180°＋α)＝－cos α，明目标、知重点 反思与感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角 的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点 反思与感悟　对于给值求值问题，要注意观察题目 条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选 择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.明目标、知重点 ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 4 1.求下列三角函数的值. (1)sin 690°；明目标、知重点 1 2 3 4明目标、知重点 1 2 3 4 (3)tan(－1 845°). 解　tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°) ＝－tan 45°＝－1.明目标、知重点 1 2 3 4明目标、知重点 1 2 3 4 解　当k＝2n(n∈Z)时，明目标、知重点 1 2 3 4 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 综上，原式＝－1.明目标、知重点 1 2 3 4 证明　当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，明目标、知重点 1 2 3 4 右边＝(－1)2kcos α＝cos α， ∴左边＝右边. 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，明目标、知重点 1 2 3 4 右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α， ∴左边＝右边.明目标、知重点 呈重点、现规律 1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四明目标、知重点 2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.