高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一） .pptx

第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简 单三角函数的奇偶性. 明目标、知重点明目标、知重点 1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定 义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 . 非零常数T 填要点·记疑点 每一个值 f(x＋T)＝f(x) 最小正周期明目标、知重点 2.正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝ ，cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)知y＝sin x 与y＝cos x都是 函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周 期，且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__， 定义域关于 对称. sin x 周期 原点 R明目标、知重点 (2)由sin(－x)＝ 知正弦函数y＝sin x是R上的 函数， 它的图象关于 对称. (3)由cos(－x)＝ 知余弦函数y＝cos x是R上的偶函数， 它的图象关于 对称. －sin x 奇 原点 cos x y轴明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理 学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函 数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的 终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变 化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.明目标、知重点 探究点一　周期函数的定义 思考1　观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答　诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.明目标、知重点 思考2　设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答　f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.明目标、知重点 小结　为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).明目标、知重点 思考3　正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答　正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都 是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它的周期.明目标、知重点 探究点二　最小正周期 导引　如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小 正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R )，对于非零实数T都是它的 周期， 而最小正周期不存在.明目标、知重点 思考　我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin x的周期，那么函 数y＝sin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？ 答　正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π. 小结　如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且 k≠0)都是函数y＝f(x)的周期. 例如，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期都是2π ，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).明目标、知重点 探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期 思考　求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 ？ 答　 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝ Asin(ωx＋φ)，明目标、知重点明目标、知重点 探究点四　正弦、余弦函数的奇偶性 导引　正弦曲线 余弦曲线明目标、知重点 思考1　观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ 答　正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图 象关于y轴对称. 思考2　上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如 何从理论上加以验证？ 答　正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导 公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立.明目标、知重点 例1　求下列三角函数的周期. (1)y＝3cos x，x∈R； 解　∵3cos(x＋2π)＝3cos x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π， 函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.明目标、知重点 (2)y＝sin 2x，x∈R； 解　∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.明目标、知重点 ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，明目标、知重点明目标、知重点 跟踪训练1　求下列函数的周期： (1)y＝cos 2x； (3)y＝|cos x|.明目标、知重点 解　∵f(x)的最小正周期是π， ∵f(x)是R上的偶函数，明目标、知重点 反思与感悟　解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.明目标、知重点 B明目标、知重点 ∴f(x)是偶函数.明目标、知重点 (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.明目标、知重点 解　∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数.明目标、知重点 反思与感悟　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义 域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为 奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x) 之间的关系.明目标、知重点 解　f(x)＝sin 2x＋x2sin x， 又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.明目标、知重点 ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 4 B明目标、知重点 1 2 3 4 D明目标、知重点 1 2 3 4 3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8) ＝ . 解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一 个周期，且f(－x)＝－f(x). ∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3) ＝f(－1)＝－f(1)＝－2. －2明目标、知重点 1 2 3 4明目标、知重点 1 2 3 4 ∴f(－x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.明目标、知重点 呈重点、现规律