北师大版八年级数学上册7.5 三角形的内角和定理(第2课时)课件
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北师大版八年级数学上册7.5 三角形的内角和定理(第2课时)课件

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时间:2020-12-23

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资料简介
7.5 三角形的内角和定理/ 7.5 三角形的内角和定理 (第2课时) 北师大版 数学 八年级 上册 7.5 三角形的内角和定理/ 在一个三角形花坛的外围走一圈,在每一个拐弯 的地方都转了一个角度(∠1,∠2,∠3),那么回到原 来位置时(方向与出发时相同),一共转了多少度? 导入新知 想一想 7.5 三角形的内角和定理/ 1.了解并掌握三角形的外角的定义. 2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行 简单的计算和证明. 素养目标 7.5 三角形的内角和定理/ B D C AO ● 40 ° 70 ° ? ● ● ● 问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方 式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊 村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知 ∠BAC=40° , ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直 达B处? 探究新知 知识点 1 三角形的外角的概念 7.5 三角形的内角和定理/ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD,你会吗? 思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗?猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. B D C AO ● 40 ° 70 ° ? ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°-∠A-∠CBA=70°, 所以∠BCD=180°-∠BCA=110°. 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 定义 如图,把△ABC的一边BC 延长,得到∠ACD,像 这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做 三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外 角. CB A D 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 问题1 如图,延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角 ?∠DCE是不是△ABC的一个外角? E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角,∠ACD =∠BCE ; CB A D ∠BCE是△ABC的一 个外角,∠DCE不是 △ABC的一个外角. 问题2 如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的每 个顶点处有多少个外角? 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角,共有几个呢? 每一个三角形都 有6个外角. 每一个顶点相对 应的外角都有2个, 且这2个角为对顶角 . 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形的外角应具备的条件:①角的顶点是三角形的顶点; ②角的一边是三角形的一边; ③另一边是三角形中一边的延长线 . ∠ACD是△ABC的一个外角CB A D 每一个三角形都有6个外角. 探究新知 归纳总结 7.5 三角形的内角和定理/ F A B C D E 如图,∠BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪 个三角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角? ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和 △DCF的外角. 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形内角和定理的推论(一) 问题1 如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系? ∠BCD与∠ACB互 补. 探究新知 知识点 2 7.5 三角形的内角和定理/ 问题2 如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A ,∠B)有什么关系? 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法 证明此结论吗? 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ D 证明:过C作CE平行于AB, A B C 12 ∴∠1= ∠B,(两直线平行, 同位角相等). ∠2= ∠A ,(两直线平 行, 内错角相等) ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知:如图,△ABC,求证:∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 验证结论 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形内角和定理的推论(一) A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 应用格式: ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 探究新知 知识要点 7.5 三角形的内角和定理/ 说出下列图形中∠1和∠2的度数: A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 探究新知 做一做 7.5 三角形的内角和定理/ 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B=∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 例题是运用了 定理“内错角 相等,两直线 平行”得到了 证实. 探究新知 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∵AD平分∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 你还有其他证明方法吗 ? 例 7.5 三角形的内角和定理/ A C D B E 探究新知 还可以有如下证法: 证明:推理可得:∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 该方法是运用 了定理“同旁 内角互补,两 直线平行”得 到了证实. 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角, ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE. ∵∠A=42° ,∠ACE=18°, ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角, ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF. ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°, ∴ ∠BFC=88°. 解: F A C D E B 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 例 如图,P为△ABC内一点,∠BPC=150°, ∠ABP=20°, ∠ACP=30°,求∠A的度数. 解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角形 的外角,再利用外角的性质即可求出∠A的度数. E 通过作辅助线求角的度数素养考点 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 解:延长BP交AC于点E, 则∠BPC,∠PEC分别为△PCE,△ABE的外角, ∴∠BPC=∠PEC+∠PCE, ∠PEC=∠ABE+∠A. ∴∠PEC=∠BPC-∠PCE =150°-30°=120°. ∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°. 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C. 证明:延长BO交AC于点D, 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和, 所以∠BDC=∠A+∠B,∠BOC=∠BDC+∠C, 所以∠BOC=∠A+∠B+∠C. 巩固练习 变式训练 D 7.5 三角形的内角和定理/ 如图 ,试比较∠2 、∠1的大小; 如图 ,试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解:∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2>∠1. 解:∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3>∠2>∠1. 探究新知 知识点 3 三角形内角和定理的推论(二) 定理:三角形的 一个外角大于任 何一个和它不相 邻的内角.B C E D A A C B D 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.∠B=∠C. 求证 :∠BPC>∠A. 证明:如图,延长BP,交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), A B C P D 还有其他 证明方法 吗? 探究新知 ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义), ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不 相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A .(不等式的性质) 例 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是(   ) A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 B 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ (2019•赤峰)如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E ,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数 为(  ) A.65° B.70° C.75° D.85° 连接中考 B 7.5 三角形的内角和定理/ 1.判断下列命题的对错. (1)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( ) (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( ) (3)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( ) (4)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( ) 课堂检测 基 础 巩 固 题 7.5 三角形的内角和定理/ 2.如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60° ,∠B=40°,则∠ECD等于(  ) A.40° B.45° C.50° D.55° 3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三 角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一 条直线上,则∠α的度数是(  ) A.45° B.60° C.75° D.85° 课堂检测 基 础 巩 固 题 C C 7.5 三角形的内角和定理/ 4.如图,点D在△ABC边AB的延长线上,DE∥BC.若 ∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是(   ) A.24° B.59° C.60° D.69° 课堂检测 基 础 巩 固 题 B 7.5 三角形的内角和定理/ (1)如图,∠BDC是________ 的外角, 也是 的外角; (2)若∠B=45 °, ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的 度数. A B C D E △ADE △ADC 解:∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. ∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °. 能 力 提 升 题 课堂检测 7.5 三角形的内角和定理/ A B C D E 1 2 F G 解:∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 拓 广 探 索 题 课堂检测 7.5 三角形的内角和定理/ 三角 形的 外角 定义 角一边必须是三角形的一边,另一 边必须是三角形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和 三 角 形 的 外 角 和 三角形的外角和等于360 ° 课堂小结 7.5 三角形的内角和定理/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习

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