北师大版八年级数学上册7.5 三角形的内角和定理（第2课时）课件

7.5 三角形的内角和定理/ 7.5 三角形的内角和定理 （第2课时） 北师大版 数学 八年级 上册 7.5 三角形的内角和定理/ 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原 来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 导入新知 想一想 7.5 三角形的内角和定理/ 1.了解并掌握三角形的外角的定义． 2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行 简单的计算和证明. 素养目标 7.5 三角形的内角和定理/ B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方 式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊 村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知 ∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直 达B处？ 探究新知 知识点 1 三角形的外角的概念 7.5 三角形的内角和定理/ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 定义 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像 这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做 三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外 角. CB A D 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角 ？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE ； CB A D ∠BCE是△ABC的一 个外角，∠DCE不是 △ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每 个顶点处有多少个外角？ 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都 有6个外角． 每一个顶点相对 应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角 . 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线 . ∠ACD是△ABC的一个外角CB A D 每一个三角形都有6个外角． 探究新知 归纳总结 7.5 三角形的内角和定理/ F A B C D E 如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪 个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和 △DCF的外角. 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形内角和定理的推论（一） 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互 补. 探究新知 知识点 2 7.5 三角形的内角和定理/ 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A ，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法 证明此结论吗？ 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 12 ∴∠1= ∠B，（两直线平行， 同位角相等）. ∠2= ∠A ，（两直线平 行， 内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 验证结论 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形内角和定理的推论（一） A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 探究新知 知识要点 7.5 三角形的内角和定理/ 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 探究新知 做一做 7.5 三角形的内角和定理/ 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B=∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 例题是运用了 定理“内错角 相等,两直线 平行”得到了 证实. 探究新知 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∵AD平分∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 你还有其他证明方法吗 ？ 例 7.5 三角形的内角和定理/ A C D B E 探究新知 还可以有如下证法： 证明:推理可得:∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 该方法是运用 了定理“同旁 内角互补,两 直线平行”得 到了证实. 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE. ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF. ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 例 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°， ∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形 的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 通过作辅助线求角的度数素养考点 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°=120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 探究新知 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 证明：延长BO交AC于点D, 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C， 所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 巩固练习 变式训练 D 7.5 三角形的内角和定理/ 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 探究新知 知识点 3 三角形内角和定理的推论（二） 定理：三角形的 一个外角大于任 何一个和它不相 邻的内角.B C E D A A C B D 7.5 三角形的内角和定理/ 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C. 求证 :∠BPC＞∠A. 证明:如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), A B C P D 还有其他 证明方法 吗？ 探究新知 ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义), ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不 相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质） 例 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(   ) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ （2019•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E ，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数 为（  ） A．65° B．70° C．75° D．85° 连接中考 B 7.5 三角形的内角和定理/ 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 课堂检测 基 础 巩 固 题 7.5 三角形的内角和定理/ 2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60° ，∠B=40°，则∠ECD等于（  ） A．40° B．45° C．50° D．55° 3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三 角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一 条直线上，则∠α的度数是（  ） A．45° B．60° C．75° D．85° 课堂检测 基 础 巩 固 题 C C 7.5 三角形的内角和定理/ 4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若 ∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（   ） A．24° B．59° C．60° D．69° 课堂检测 基 础 巩 固 题 B 7.5 三角形的内角和定理/ (1)如图，∠BDC是________ 的外角, 也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的 度数. A B C D E △ADE △ADC 解：∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. ∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °. 能 力 提 升 题 课堂检测 7.5 三角形的内角和定理/ A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 拓 广 探 索 题 课堂检测 7.5 三角形的内角和定理/ 三角 形的 外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一 边必须是三角形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和 三 角 形 的 外 角 和 三角形的外角和等于360 ° 课堂小结 7.5 三角形的内角和定理/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习