线段的垂直平分线（一）课件

用心想一想，马到功成 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么 位置? A B 线段垂直平分线的性质： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等． 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC， P是MN上的点． 求证：PA=PB． N A P BC M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 用心想一想，马到功成 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这 个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上． C B P A 证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上． C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定： 定理：到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上． 想一想，做一做 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 课堂小结, 畅谈收获： 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线． 补充练习： 1．已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线 相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上． 2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD A B C D