高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》课时2

2.1.1 椭圆及其标准方程（2） 2.1 椭圆 本节课是在学习了椭圆的定义之后，学习求曲线轨迹方程的常 用方法。为了激发学生的学习热情，培养爱国主义情操。本课件截 取了嫦娥二号卫星发射升空的视频。引出本课新话题：如何求曲线 的轨迹方程。通过三个例题介绍了求曲线轨迹方程的一般方法。 其中例1是利用定义法求轨迹方程；例2是运用（相关点法）代 入法求轨迹方程；例3是运用直接法求轨迹方程。使学生明确椭圆 标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母 都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程。以此来 进一步巩固椭圆的定义及标准方程。 课后留了一些习题供老师参考选用。 嫦娥二号卫 星于2010年 10月 1日 成 功发射升空 并顺利进入 地月转移轨 道.你能写出 嫦娥二号卫 星的一个轨 迹方程吗？ （一）情景引入 模拟动画：嫦娥二号奔月飞行 1．平面内与两个定点F1，F2的__________________________ 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__________， _____________叫做椭圆的焦距． 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点  两焦点间距离 （二）复习导入 2．填表： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方 程 焦点坐 标 a、b、c 的关系 c2＝____________________ (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a2－b2  利用定义法求轨迹方程 例1.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆 在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程． 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有 的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和 是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则 动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求 椭圆标准方程的方法，要注意检验． 1．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到 两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程． 解： 例2、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线 y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程. 运用（相关点法）代入法求轨迹方程 x y O D M P 2.如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的 垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨 迹是什么？为什么？ 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）, 则 因为点P（x0,y0）在圆 ．． ① 即 所以点M的轨迹是一个椭圆. 1.从本题你能发现 椭圆与圆之间的关 系吗？ 2.x的范围有限制吗 ？ 寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0 , y0之间的关系,然后 消去x0 , y0,得到点M的轨迹的方程.------- 叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法) 把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得 例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM 相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程. y A x M B O 解：设点M的坐标（x,y）,因为点A 的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜 率为 运用直接法求轨迹方程 同理，直线BM的斜率 由已知有 化简，得点M的轨迹方程为 例4. 忽略椭圆标准方程的隐含条件致误 答案：B 1．求椭圆的标准方程常用待定系数法． 首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的 位置，可用两种方法来解决问题． 2．求轨迹方程的常用方法： (1)直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点 的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式， 从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法． (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以 设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程 的方法称为定义法． (3)相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动 而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在 运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相 关点法． 课后练习 课后习题 D 课后练习 2.一个动圆与已知圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x- 3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程. 【解析】由已知两定圆的圆心和半径分别为 Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图所示, 则由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, ∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆定义可知M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上, 且a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16. 故动圆圆心的轨迹方程为 课后习题 解析：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M的轨迹是圆； 当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆． 3.已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q 的轨迹是 (  )． A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析:如图，依题意： |PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常数)． 又∵|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a. ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A. 答案 A