高一数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（二） .pptx

第二章 平面向量 §2.4 平面向量的数量积 2.4.1　平面向量数量积的物理背景 及其含义(二)明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 明目标、知重点明目标、知重点 1.向量的数量积(内积) 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即 a·b＝ . 叫做向量a在b方向上的投影， 叫做向量b在a方向上的投影. 2.向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. (1)a·e＝e·a＝ ； (2)a⊥b⇒a·b＝ 且a·b＝ ⇒a⊥b； |a||b|cos〈a，b〉 填要点·记疑点 |a||b|cos〈a，b〉 |a|cos θ |b|cos θ |a|cos〈a，b〉 0 0明目标、知重点 (3)a·a＝ 或|a|＝ ； (4)cos〈a，b〉＝ ； (5)|a·b| |a||b|. 3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝ (交换律)； (2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)； (3)(a＋b)·c＝ (分配律). |a|2 ≤ b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是 非常必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的 乘积ab形式相似，实质差别很大.实数中的一些运算性质 不能随意简单地类比到向量的数量积上来.明目标、知重点 探究点一　向量数量积运算律的提出 思考1　类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？ 先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)： 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba 结合律 (ab)c＝a(bc) 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc 消去律 ab＝bc(b≠0)￿⇒a＝c a·b＝b·a 正确 (a·b)c＝a(b·c) 错误 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确 a·b＝b·c(b≠0)￿⇒a＝c 错误明目标、知重点 思考2　在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪 些？试各举一反例说明. 答　(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而 a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝ a(b·c)，一般情况下不会成立. a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示. 显然a·b＝b·c，且a≠c.明目标、知重点 探究点二　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律： ①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).明目标、知重点 思考1　如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可 以转化为哪些运算？ 答　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉， ∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉， ∴a·b＝b·a. (λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).明目标、知重点 思考2　如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (提示：分λ＝0，λ>0，λ0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉 ＝λ|a||b|cos〈λa，b〉， λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉， a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉； ∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，明目标、知重点 ∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 当λ