人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积课件

24.4 弧长和扇形面积/ 24.4 弧长和扇形的面积 第一课时 第二课时 人教版 数学 九年级 上册 24.4 弧长和扇形面积/第一课时 返回 弧长和扇形面积计算公式 24.4 弧长和扇形面积/ 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑 道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度” ？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 导入新知 24.4 弧长和扇形面积/ 2. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这 些公式进行相关计算. 1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式. 素养目标 24.4 弧长和扇形面积/ 弧长计算公式及相关的计算 问题1 半径为R的圆,周长是多少？ O R 问题2 ①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所 对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？ 探究新知 知识点 1 24.4 弧长和扇形面积/ 问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? 弧长是多少？ O R 18 0° O R 90° O R45° O Rn° 探究新知 弧长= ·2πR = 弧长 = ·2πR = 弧长 = ·2πR = 弧长 = ·2πR = 24.4 弧长和扇形面积/ 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意 义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则 弧长为____. 弧长公式 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再 下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到 1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 700mm 700mmR=900mm (100 ° A C B DO 弧长公式的应用 700mm 素 养 考 点 1 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向 旋转的度数为n°。 解得 n≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 1.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物 上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转 多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 巩固练习 ·O A 24.4 弧长和扇形面积/ 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成 的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 扇形面积计算公式及相关的计算 探究新知 知识点 2 24.4 弧长和扇形面积/ 下列图形是扇形吗？判一判 √× × × √ 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 问题1 半径为r的圆,面积是多少 ？ O r 问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几， 具体是多少呢? 问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？ ②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？ ③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？ 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 O r 180° O r 90° O r 45° O rn° 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是 不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程 记忆）. 注意 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 大小不变时，对应 的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面 积与 有关， 越 大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似 ？ A B OO 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个 扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm） O R 60°解：∵n=60，r=10cm， ∴扇形的面积为 扇形的周长为 扇形面积公式的应用 探究新知 素 养 考 点 2 24.4 弧长和扇形面积/ 2. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则 这个扇形的面积S扇= ． 3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则 这个扇形的面积S扇= . 巩固练习 24.4 弧长和扇形面积/ 例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到 0.01cm） (1 ) O . BA C 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指 图上哪一部分？ 阴影部分. 求阴影部分的面积 探究新知 素 养 考 点 3 24.4 弧长和扇形面积/ O . BA C D (2 ) O. BA C D (3 ) (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长 ？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O 于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线， 垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC.  从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O. BA C D (3 ) 探究新知   有水部分的面积： S＝S扇形OAB - SΔOAB 24.4 弧长和扇形面积/ OO 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 • S弓形=S扇形-S三角形 • S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积公式 探究新知 24.4 弧长和扇形面积/ 2π 4. 如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D 是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____． 解析：阴影部分的面积就是扇形 OAC的面积，由题意得： ∠AOC=60°÷3=20°. S扇形OAC= =2π. 巩固练习 2π 24.4 弧长和扇形面积/ 1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°， BO=4，则 的长为（  ） A． B． C． 2π D． 巩固练习 D 连 接 中 考 24.4 弧长和扇形面积/ 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3， 则图中阴影部分的面积是（  ） A．π B．2π C．3π D．6π 巩固练习 C 连 接 中 考 24.4 弧长和扇形面积/ 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H 分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到 △A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的 面积为 （ ） A. B． C. D. 1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长 . C A B C O H C1 A1 H1O1 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.4 弧长和扇形面积/ 3. 如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交， 且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.4 弧长和扇形面积/ 1. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝ 90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻 转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ________(结果用含π的式子表示)． A1 A2 C1 课堂检测 能 力 提 升 题 l 24.4 弧长和扇形面积/ 2. 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积. O A B D C E解： 课堂检测 能 力 提 升 题 24.4 弧长和扇形面积/ 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平 桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶 点A从开始到结束所经过的路程为多少. A B A' B 'C 解: 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针 方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于 弧AA' 的长. ∵等边三角形ABC的边长为10cm， ∴弧AA' 所在圆的半径为10cm. ∴l弧AA' 答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为 课堂检测 拓 广 探 索 题 24.4 弧长和扇形面积/ 弧 长 计算公式： 扇 形 定 义 公 式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓 形 公 式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 24.4 弧长和扇形面积/第二课时 返回 圆锥的侧面积及全面积 24.4 弧长和扇形面积/导入新知 下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？ 24.4 弧长和扇形面积/素养目标 2. 会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单 的实际问题. 1. 体会圆锥侧面积的探索过程. 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 圆锥及相关概念知识点 1 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 顶点 母线 底面半径 侧面 高 圆锥的形成 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 圆锥的高 母线 S A O Br 我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA ，SB 等叫做圆锥的母线． 圆锥的母线 圆锥有无数条母线，它们都相等． 圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心 之间的距离是圆锥的高． 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 要点归纳 h 由勾股定理得： 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是： r2+h2=l2 O r 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 填一填: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面 半径、高线、母线长） （1）l = 2，r=1 则 h=_______. (2) h =3, r=4 则 l =_______. (3) l = 10, h = 8 则r=_______. 5 6 h O r 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 l o r 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇 形 圆锥的侧面展开图是扇形. 圆锥的侧面展开图知识点 2 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 问题： 1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇 形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪 一条线段相等？ 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 l o 侧 面 展 开 图 概念对比 r l r 扇 形 其侧面展开图扇形的半径=母线的长 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 圆锥的侧面积计算公式的推导 l o 侧 面 展开图 l r 圆锥的全面积计算公式 (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) ∵ 又∵ ∴ （l为弧长，R 为扇形的半径） 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为 20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a. 可得 r=10. 可得 a=30. 又 圆锥有关概念的计算素 养 考 点 1 24.4 弧长和扇形面积/巩固练习 1. 如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用 这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1)则这个圆锥的底面半径r= ． (2)这个圆锥的高h= . A C B θ R=10 O r 4 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 α O h r l 例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为 50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面 展开图？求出该侧面展开图的面积. 解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示.设该扇形的面积为S. 圆锥有关面积的计算素 养 考 点 2 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 解法一 解法二 S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π 解法三 S=πr·l= π×40×50=2000π 24.4 弧长和扇形面积/巩固练习 2. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长 为20cm，则这个圆锥的侧面积为 ， 全面积为 . 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用 毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？ 利用圆锥的面积解决实际问题素 养 考 点 3 24.4 弧长和扇形面积/探究新知 解：如图是一个蒙古包示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m ；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）． 圆柱的底面积半径为 圆锥的母线长为 圆柱的侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米）， 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）． 答：至少需要1446平方米的毛毡. 24.4 弧长和扇形面积/巩固练习 3.圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求 这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结果保留2个有效数字） 解：∵l=80，h=38.7 ∴r= ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2） 答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2. lh r 24.4 弧长和扇形面积/巩固练习 A 连 接 中 考 24.4 弧长和扇形面积/课堂检测 1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面 展开图扇形的圆心角是_______． 2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个 圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ． 180° 10cm 3.3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ．15πcm2 24πcm2 基 础 巩 固 题 24.4 弧长和扇形面积/课堂检测 如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求 圆锥全面积. 解：∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC=AC=8cm. ∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2), S底=πr2=π×4×4=16π(cm2), ∴S全=S侧+S底=48π(cm2). 能 力 提 升 题 24.4 弧长和扇形面积/课堂检测 （1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形， 求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？ （2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个 圆锥的底面圆的半径？ （3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？ 请说明理由． A B C ① ② ③ O 拓 广 探 索 题 24.4 弧长和扇形面积/课堂检测 解：（1）连接BC，则BC=20， ∵∠BAC=90°，AB=AC， （3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF= 最大半径为 所以不能． A B C ① ② ③ O ∴S扇形= ∴AB=AC= （2）圆锥侧面展开图的弧长为： E F 24.4 弧长和扇形面积/课堂小结 r2+h2=l2 S圆锥侧＝πrl. S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底 ＝ πrl+πr2 圆锥的高 母线 r S A O B h l o 侧 面 展开图 r 底面 ①其侧面展开图扇形的半径=母线的 长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长 重要图形 重要结论 24.4 弧长和扇形面积/ 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业