24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
24.2 点和圆、直线和圆的
位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
人教版 数学 九年级 上册
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
我国射击运动员在奥运会
上获金牌，为我国赢得荣誉.
如图是射击靶的示意图，它是
由许多同心圆（圆心相同，半
径不相同）构成的，你知道击
中靶上不同位置的成绩是如何
计算的吗？
解决这个问题
要研究点和圆的
位置关系．
导入新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆
并掌握作图方法.
4. 了解反证法的证明思想.
素养目标
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种
？
.o.C
. ... B . .A.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
探究新知
点和圆的位置关系点和圆的位置关系知识点 1
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆
三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
Pr
d P
r
d
＜ r
r =
＞ r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢
？
探究新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
r
P
d
Pr
d P
r
d
点P在⊙O内 dr
数形结合： 位置关系 数量关系
探究新知
点和圆的位置关系
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A
的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3r，故C点在⊙A外
判定点和圆的位置关系素 养 考 点 1
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点
在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？
（直接写出答案）
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
1. ⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为
8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点
A在 ；点B在 ；点C在 . 圆内 圆上 圆外
2. 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=
，则点P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
o
D
巩固练习
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题1 如何过一个点A作一个圆？
过点A可以作多少个圆？
·
·
·
·
·以不与A点重合的任意一
点为圆心，以这个点到A
点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
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过不共线三点作圆过不共线三点作圆知识点 2
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题2 如何过两点A、B作一个圆
？过两点可以作多少个圆？
·
·
··A B
作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点和点
A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
●
o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC
的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条
垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB
的垂直平分线上.
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
有且只有
位置关系
定理：
不在同一直线上的三个点
确定一个圆.
A
B
C
D
E
G
F
●
o
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
例2 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
作法：1. 连结AB，作线段AB的垂
直平分线MN；
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分
线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B C
利用尺规法作圆素 养 考 点 2
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原
了吗？
方法:
1. 在圆弧上任取三点A、B、C;
2. 作线段AB、BC的垂直平分线,
其交点O即为圆心;
3. 以点O为圆心，OC长为半径
作圆.
⊙O即为所求.
A
B
C
O
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
3. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样
的工具找到圆形工件的圆心．
D
A B
C
O
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两
点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直
径，它们的交点为圆心.
巩固练习
解
:
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三
点的圆. A
B
C
O
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三角形的外接圆及外心三角形的外接圆及外心知识点 3
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
外接圆
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做
三角形的外接圆.
⊙O叫做△ABC的________，
△ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
三角形的外心：
定义：
外接圆
内接三角形
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：
●O
A
B C
要
点
归
纳
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
【练一练】 判断下列说法是否正确.
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
×
×
√
探究新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位
置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B C
●O
A
B CC
A
B
┐
●O ●O
探究新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
例3 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，
∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
圆与平面直角坐标系相结合的问题
探究新知
素 养 考 点 3
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径.
又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝
因此圆的半径为3．
∴△AOB外接圆的面积是9π.
解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外
接圆的直径(或半径)长度．
探究新知
点A的坐标( ， 0)
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4. 如图,已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2).
(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.
(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.
巩固练习
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直
平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐
标为(2，0).
(2)圆的半径
线段DM ,所以点D在圆M内.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
例4 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到
BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
D
则OD＝5cm，
在Rt△OBD中
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
考查三角形的外接圆的有关知识
探究新知
素 养 考 点 4
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
5. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,
BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8 cm
巩固练习
A
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思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1 l2
A B C
P
探究新知
反证法反证法知识点 4
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作
一个圆，设这个圆的圆心为P.
那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段
BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.
而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
所以过同一条直线上的三点不能作圆．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾
(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假
设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
① 假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;
② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;
③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
探究新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
例5 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 ，
则 。
因此
这与 矛盾．假设不成立．
因此 ．
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三角形的内角和为180度
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
∠A+∠B+∠C>180°
反证法的应用
探究新知
素 养 考 点 5
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个
锐角不大于45°”时，应先假设（ ）
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一锐角都大于45°
巩固练习
D
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=
4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
巩固练习
连 接 中 考
ᵽᵽ
ᵽ
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，
BC=4，则⊙O的直径为 ．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
B
C
O
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
2. 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A
，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .上 上外
3.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则
点P与⊙O的位置关系为 （ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上
C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它
的外接圆半径= . 5
5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数
是________．70°
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
1. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三
点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
M
RQ
A B
C
P
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
B
课堂检测
能 力 提 升 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
1
·
2cm
3cm
2. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且
小于或等于3cm的点组成的图形.
O
课堂检测
能 力 提 升 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘
要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
A
B C
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
点 与 圆 的
位 置 关 系
点 在 圆 外
点 在 圆 上
点 在 圆 内
d > r
d = r
d < r 作 圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆 点P在圆环内 r≤d≤R R r P 课堂小结
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
一个三角形的外接
圆是唯一的.
反
证
法
定 义
步 骤
假 设 ， 推 理 ， 得 证
三
角
形
的
外
心
定 义
性 质
在各类三角形
中的位置
课堂小结
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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