人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件

24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 人教版 数学 九年级 上册 24.1 圆的有关性质/ 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O 于B、C两点. 导入新知 24.1 圆的有关性质/ 1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程. 2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题. 4. 掌握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的 性质并能运用其性质进行计算. 素养目标 24.1 圆的有关性质/ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 探究新知 圆周角的定义圆周角的定义知识点 1 24.1 圆的有关性质/ · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角 并简述理由. （2）（1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交√ √√ 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 如图，连接BO、CO，得圆心角∠BOC.试猜想 ∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 探究新知 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论知识点 2 测量与猜想 24.1 圆的有关性质/ 圆心O 在 ∠BAC 的 内 部 圆心O在∠BAC 的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 探究新知 推导与论证 24.1 圆的有关性质/  圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 证明： 探究新知 24.1 圆的有关性质/ O A B C D  圆心O在∠BAC的内部 证明：连接AO并延长交⊙O于D. 探究新知 24.1 圆的有关性质/ B C O A D  圆心O在∠BAC的外部 证明：连接AO并延长交⊙O于点D. 探究新知 24.1 圆的有关性质/探究新知 圆周角定理 一条弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角 的一半； 24.1 圆的有关性质/ 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上 任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC 答：相等. 证明：在⊙O中， 探究新知 互动探究 24.1 圆的有关性质/ D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ 答：相等 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 证明：连接OC，OE，OD，OF 成立 90° 探究新知 24.1 圆的有关性质/ D A B O C E F 答：相等 证明：连接OC，OE，OD，OF 探究新知 24.1 圆的有关性质/ A1 A2 A3 探究新知 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 24.1 圆的有关性质/ 试一试 如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在 点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任 意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB 所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ ·OA C B 解：∵OA=OB=OC， ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 探究新知 24.1 圆的有关性质/探究新知 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 24.1 圆的有关性质/ 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大 小. O CA B 解： ①∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90° ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 利用圆周角定理及推论求角的度数素 养 考 点 1 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝______． 巩固练习 80° 24.1 圆的有关性质/ 例2 如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. A D B E C (2)连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 60° x A B D C 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 2. 如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC 上的一点,则∠BPC=_____. 解析：连接BD,则BD是直径, ∴△BCD是等腰直角三角形, ∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°. 巩固练习 45° 24.1 圆的有关性质/ 例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等素 养 考 点 2 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2) ∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. B 解题妙招 在圆周角问题中，若题 干中出现“直径”这个 条件，则找直径所对的 圆周角，通过构造直角 三角形来解决。 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则 ∠A的度数为(  ) A．30° B．45° C．60° D．75° C 巩固练习 24.1 圆的有关性质/ 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 探究新知 圆内接四边形圆内接四边形知识点 3 24.1 圆的有关性质/ 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为 四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想：如何证明你的猜想呢？ 探究新知 探究性质 24.1 圆的有关性质/ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180° ， 推论：圆内接四边形的对角互补. 证明： 探究新知 24.1 圆的有关性质/ C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 推论：圆的内接四边形的任何一个 外角都等于它的内对角. C O D B A E 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 例4 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于 D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 素养考点3 圆内接四边形性质的应用素 养 考 点 3 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中， ∠BOD＝120°，那么∠BCD是(  ) A．120° B．100° C．80° D．60° A 巩固练习 24.1 圆的有关性质/ 1.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接 AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度 数是（  ） A．25° B．27.5° C．30° D．35° 巩固练习 连 接 中 考 D 24.1 圆的有关性质/ 2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则 ∠BOD的度数是（ ） A．50° B．60° C．80° D．100° 解析：圆上取一点A，连接AB，AD， ∵点A、B、C、D在⊙O上∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100° 巩固练习 连 接 中 考 D 24.1 圆的有关性质/ 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等（ ） （3）同弦所对的圆周角相等（ ） √ × × 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.1 圆的有关性质/ 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． BA C O 166° 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.1 圆的有关性质/ 3. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点 E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.1 圆的有关性质/ AB C D O 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则 ∠BCD的度数是（ ） A. 115° B. 130° C. 65° D. 50° C 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.1 圆的有关性质/ A O B C ∴∠ACB=2∠BAC 证明： 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. ∠AOB=2∠BOC， 课堂检测 能 力 提 升 题 24.1 圆的有关性质/ 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是 否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经 过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区 域时，∠α与“危险角”有怎样的 大小关系？ 课堂检测 拓 广 探 索 题 24.1 圆的有关性质/ 解：当船位于安全区域时，即船位 于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两 个灯塔的夹角∠α小于“危险角 ”.即：在⊙O中，∠ACB=∠AEB 在△PEB中，∠AEB=∠α ∠ACB=∠α 课堂检测 拓 广 探 索 题 24.1 圆的有关性质/ 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的 推论 在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相 等，都等于该弧所对的 圆心角的一半；相等的 圆周角所对的弧相等. 1.90°的圆周角所 对的弦是直径； 2.圆内接四边形的 对角互补. 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆相 交的角（二者必 须同时具备） 圆周角与直 径的关系 半圆或直径 所对的圆周 角是直角. 课堂小结 24.1 圆的有关性质/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习