高一数学人教版A版必修二课件：1.3.2 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积 第2课时 柱体、锥体、台体、球 的体积与球的表面积 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积； 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积； 3.会求简单组合体的体积及表面积. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学     新知探究 点点落实 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式 (S为底面面积，h为高)； 2.锥体的体积公式 (S为底面面积，h为高)； 3.台体的体积公式 (S′、S为上、下底面面积，h 为高)； 答案 V＝Sh 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 答案 知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径)； 2.球的体积公式 . 4πR2 返回 题型探究     重点难点 个个击破 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积 为____m3. 解析 由所给三视图可知， 该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成， 底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m， 因此该几何体的体积 解析答案 (2)在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M 为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为 多少？ 反思与感悟 解析答案 解 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2. 连接MD. 因为M是AE的中点， 反思与感悟 而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC， 因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD， 反思与感悟 三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积；在已知三棱锥的 体积时，可用等体积法求点到平面的距离. 跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   ) 解析答案 解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成， 圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π， C 类型二 球的表面积与体积 例2 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则 圆锥侧面积与球面面积之比是____. 解析答案 解析 设圆锥的底面半径为R， (2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面 积为________. 解析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成， 且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母 线长等于5， 所以该几何体的表面积为 S＝2π×32＋π×3×5＝33π. 解析答案反思与感悟 33π 反思与感悟 对于(1)中关键要记住球的表面积公式和体积公式，对于关于球的三 视图，要特别注意，球的三种视图都是直径相同的圆. 跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表 面积为16＋20π，则r等于(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析答案 解析 由正视图与俯视图想象出直观图，然后进行运算求解. 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体， 球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r， 又S＝16＋20π， ∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故选B. 答案 B (2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直 径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________. 解析答案反思与感悟 解析 设球的半径为R， 则V柱＝πR2·2R＝2πR3， 3∶1∶2 类型三 组合体的表面积与体积 例3 (1)一球与棱长为2的正方体各个面相切，则该球的体积为_____. 解析 由题意可知球是正方体的内切球， 因此球的半径为1， 解析答案 反思与感悟 (2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表 面积是________. 解析答案 解析 正方体内接于球， 则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合. 可见，正方体的对角线是球的直径.设球的半径是r， 则正方体的对角线长是2r. 反思与感悟 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径， 关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化 为平面问题来解决. 跟踪训练3  (1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与 圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为(  ) A.6∶13 B.5∶14 C.3∶4 D.7∶15 解析答案 解析 如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD， 球的大圆O内切于梯形ABCD. 设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2， 由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2. ∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)， ∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2. 由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4. 返回 (2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2， 它的八个顶点都 在同一个球面上，则这个球的体积为________. 解析答案 1 2 3达标检测      4 5 解析答案 1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)， 则三棱锥B1—ABC的体积为(  )D 1 2 3 4 5 解析答案 2.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为(  ) 解析 依题意得正六棱锥的高为 B 1 2 3 4 5 3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积 为(  ) A.2π B.4π C.8π D.16π 解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1， 所以表面积为S＝4π×12＝4π. B 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为____. 解析 由三视图可知，该几何体是一个半球， ∴其表面积为2π×12＋π＝3π. 3π 1 2 3 4 5 解析答案 5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 ________. 1 2 3 4 5 解析答案 解析 方法一 如图，过球心O作轴截面ABCD， 作DE⊥BC，垂足为E.设球的半径为r1， 则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r. 1 2 3 4 5 方法二 如图，过球心O作轴截面ABCD， 设球的半径为r1，AB与圆O相切于点F， 连接OA，OB，OF， 则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高. 由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr， 故球的表面积为S球＝4πRr. 规律与方法 1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 S′＝0 2.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h， 这种方法就是用等体积法求点到平面 的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝ VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求. 3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或 补形将其转化为规则的几何体求解. 4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三 角形，进行相关计算. 5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的 各量体现在平面图形中，再进行相关计算. 返回