高一数学人教版A版必修二课件：2.1.1 平面 .pptx

第二章　 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系； 2.掌握有关平面的三个公理； 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点一　平面 思考　几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案　 没有. 平行四边形. 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、 黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象. 答案答案 2.平面的画法 常常把水平的平面画成一个__________，并且其 锐角画成____，且横边长等于邻边长的___倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用_____画出来. 3.平面的表示方法 (1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. (2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 平行四边形 2 虚线 45°知识点二　点、直线、平面之间的关系 思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面 的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案　点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示， 直线和平面的位置关系，可用数学符号 “⊂”或“⊄”表示. 答案点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 A∈l A∉l A∈α 答案答案 点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l A∉α l⊂α l⊄α α∩β＝l知识点三　平面的基本性质 思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有 两个公共点呢？ 答案　前者不在，后者在. 答案 思考2　观察右图，你能得出什么结论？ 答案　不共线的三点可以确定一个平面. 思考3　观察正方体ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面 BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？ 答案　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上 的两点在一个平 面内，那么这条 直线在此平面内 A∈l，B∈l，且 A∈α， B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面 内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线 上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C三点不共 线⇒存在唯一的平 面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面公理3 如果两个不重 合的平面有一 个公共点，那 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线 P∈α且 P∈β⇒α∩β＝l ，且P∈l ①判定两平面 相交的依据 ②判定点在直 线上 返回题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P. 反思与感悟 解析答案反思与感悟 借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的 符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的 关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应 并掌握.跟踪训练1　若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系 可记为(　　) A.M∈a，a∈α B.M∈a，a⊂α C.M⊂a，a⊂α D.M⊂a，a∈α 解析　点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平 面的关系为集合间的关系，不能用“∈”. 解析答案 B类型二　平面性质的应用 例2　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内. 解析答案证明　方法一　(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内. 解析答案反思与感悟方法二　(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内. 反思与感悟反思与感悟 证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他 的点和线在所确定的平面内.跟踪训练2　已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面. 证明　如图， ∵a∥b，∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B， 由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合， ∴a，b，c和l共面. 解析答案例3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图 所示. 求证：P、Q、R三点共线. 解析答案反思与感悟证明　方法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P、Q、R三点共线. 解析答案反思与感悟方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P、Q、R三点共线. 反思与感悟反思与感悟 证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面 的公共点，则必在这两个面的交线上.也可考虑为点P、R确定一条 直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常 用方法.跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点， F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点. 解析答案 返回返回 证明　如图，连接EF，D1C，A1B. ∵E为AB的中点，F为AA1的中点， ∴E，F，D1，C四点共面， ∴D1F与CE相交于点P. 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD. ∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. 又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 根据公理3，可得P∈DA， 即CE、D1F、DA相交于一点.1 2 3达标检测 　　　　 4 5 解析答案 1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(　　) A.C∈α B.C∉α C.AB⊄α D.AB∩α＝C 解析　因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α. 又因为C∈直线AB，所以C∈α. A1 2 3 4 5 解析答案 2.下列说法正确的是(　　) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 解析　A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面； B中，这一点在直线上不能确定一个平面； 空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错. D1 2 3 4 5 3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. 答案 (1)A∉α，a⊂α____. (2)α∩β＝a，P∉α且P∉β____. (3)a⊄α，a∩α＝A____. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O___. C D A B1 2 3 4 5 4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________.1或3 答案1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平 面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P， 则点P与直线DE的位置关系是___________. 解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE. P∈直线DE规律与方法1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据； 公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据. 2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个 平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上. 3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或 线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然 后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证 明、记忆与运用. 4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其 他”直线往往归结为平面与平面的交线. 返回