高一数学人教版A版必修二课件：2.3.1 直线与平面垂直的判定 .pptx

第二章　 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1　直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的定义； 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用； 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点一　直线与平面垂直的定义 思考1　 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着 时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影 子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 答案　不变，90°. 答案答案 定义 如果直线l与平面α内的_________直线都 垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 ______ 有关概念 直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线 l的____，它们唯一的公共点P叫做_____ 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 l⊥α 垂线 垂足垂面知识点二　直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系. 思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？ 答案　不一定. 思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ 答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直. 答案答案 文字语言 一条直线与一个平面内的______________都 垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，______＝P⇒l⊥α 图形语言 两条相交直线 a∩b知识点三　直线与平面所成的角 答案 有关概念 对应图形 斜线 与平面α_____，但不和平面α_____ ，图中 斜足 斜线和平面的 ，图中 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在 这个平面内的射影，图中斜线PA在 平面α上的射影为_______ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO答案 直线与平面 所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 图中 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，____________ ∠PAO 90° 0° 0°≤θ≤90° 返回题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　直线和平面垂直的定义 例1　下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 反思与感悟 解析答案解析　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直， 所以①不正确； 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确， ④正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确. 故填④⑤. 答案　④⑤ 反思与感悟反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意 理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线 与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可 知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直 线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1　下面叙述中： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所 在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所 在的直线. 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析答案解析　①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直， 所以不正确； ②由定义知正确； ③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定 义知也与两底边所在直线垂直，所以正确； ④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直， 故不一定与两腰所在直线垂直，不正确. 故选B. 答案　B类型二　线面垂直的判定 例2　在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证CD⊥平面ABC. 解　如图所示. 解析答案 ⇒CD⊥平面ABC. 反思与感悟反思与感悟 1.使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直 线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决. 2.线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性 质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直 于平面内的任意一条直线”.跟踪训练2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点， 且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； 证明　因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC. 解析答案(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明 因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D， 所以BD⊥平面SAC. 解析答案类型三　直线与平面所成的角 例3　如图，在正方体ABCD­­A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 解　∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 解析答案(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO， ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角， 解析答案反思与感悟 ∴∠A1BO＝30°. ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.反思与感悟 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点 作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及 垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.跟踪训练3　如图，在三棱锥ABC­­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， AA1＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点. (1)证明：A1D⊥平面A1BC. 解　取BC的中点E，连接A1E，DE，AE， 由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE， 因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC， 由D，E分别是B1C1，BC的中点， 得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A， 所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE， 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC. 解析答案返回 (2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值. 解 作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF. 因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E. 因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE. 所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C. 所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角. 解析答案1 2 3达标检测 　　　　 4 5 解析答案 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于 点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直， 又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. B1 2 3 4 5 解析答案 2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 解析　若l∥m，l⊄α，m⊂α， ∴l∥α， 这与已知l⊥α矛盾. 所以直线l与m不可能平行. A1 2 3 4 5 3.如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是 EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体， 使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是(　　) A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF 解析　在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F， 因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF， 又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG. A 解析答案1 2 3 4 5 解析答案 4.如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.1 2 3 4 5解　由题意知，A是M在平面ABC内的射影， ∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 又∵在Rt△BMC中，BM＝5，∠MBC＝60°，1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意 一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC. 证明　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C， PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴AE⊥平面PBC.规律与方法 1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线 也垂直于这个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面. 返回