高一数学人教版A版必修二课件：2.3.2 平面与平面垂直的判定 .pptx

第二章　 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2　平面与平面垂直的判定1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二 面角的平面角； 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角； 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点一　二面角 思考1　观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门 所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用 哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 答案　二面角. 思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点 ？ 答案　二面角的平面角. 答案1.定义：从一条直线出发的___________所组成的图形. 2.相关概念： ①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___. 3.画法： 答案 　 两个半平面 棱 面4.记法：二面角_________或___________或________，或P－AB－Q. 5.二面角的平面角： 若有①O___l；②OA___α，OB___β；③OA___l，OB___l，则二面角 α－l－β的平面角是________. 答案 　 α－l－β α－AB－β P－l－Q ∈ ⊂ ⊂ ⊥ ⊥ ∠AOB知识点二　平面与平面垂直 思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种 方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如 果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什 么关系？ 答案　都是垂直. 1.平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就 说这两个平面互相垂直. (2)画法：记作：_______. 答案 直二面角 α⊥β2.判定定理 答案 文字语言 一个平面过另一个平面的______，则这两个平 面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，______⇒α⊥β 返回 垂线 l⊂β题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　定义法判定两平面垂直 例1　如图，在四面体ABCD中， 求证：平面ABD⊥平面BCD. 反思与感悟 解析答案解　因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连 接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE. 反思与感悟 由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD. 又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方 法是： (1)找出两相交平面的平面角； (2)证明这个平面角是直角； (3)根据定义，这两个相交平面互相垂直. 2.此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特 别注意.跟踪训练1　如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC. 解析答案 证明　取BC中点D，连接SD、AD， 由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA. ∴AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角. ∴SD2＋AD2＝SA2. ∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.类型二　面面垂直的判定定理判定两平面垂直 例2　如图，在四棱锥P-­ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形. 求证：平面PAC⊥平面PBD. 证明　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA. ∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. 又∵BD⊂平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC. 解析答案反思与感悟反思与感悟 利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关 键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪训练2　如图，三棱柱ABC-­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°， 证明：平面BDC1⊥平面BDC. 证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， 所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. 解析答案类型三　求二面角的大小 例3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱 )ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的 中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离； 解析答案 解　由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值. 解析答案反思与感悟反思与感悟 解　如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1. 又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角. 因CD⊥面A1ABB1，AB1⊂面A1ABB1，所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C， 所以AB1⊥面A1CD，故AB1⊥A1D， 从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA， 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出 二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求 出这个角的值，最后说明二面角为多少度.这个过程可以简记 为：作(找)、证、求、答.跟踪训练3　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂 直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：BD⊥平面SAC； 证明　∵SB＝BC，且E为SC的中点， ∴BE⊥SC， 又∵DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE， ∴BD⊥SC， ∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面SAC. 解析答案返回 (2)求二面角E－BD－C的大小. 解　由(1)BD⊥平面SAC可得BD⊥DE且BD⊥AC， ∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角， 设SA＝a，则AB＝a， 解析答案 ∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°， 又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°， ∴二面角E－BD－C的大小为60°.1 2 3达标检测 　　　　 4 解析答案 1.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C. C1 2 3 4 解析答案 2.下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个 二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或 互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线 所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没 有关系. 其中正确的是(　　) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 解析　①不符合二面角定义， ③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B. B1 2 3 4 3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足， ∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________. 解析答案解析　如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD. 而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC. ∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角. 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC. 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴设AO＝a，则AC＝ a，AB＝2a. 解析答案 1 2 3 4∴∠ADO＝60°. 即二面角A－BC－O的大小是60°. 1 2 3 41 2 3 4 解析答案 4.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、 BD的中点.求证：面EFC⊥面BCD. 证明　∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. ∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD. 又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC. ∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD.规律与方法 1.求二面角的步骤 简称为“一作二证三求”.2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直 于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面 产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB 为二面角α－l－β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一 个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线， 垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补 角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 返回 3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义； (2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直.