高一数学人教版A版必修二课件：2.3.3~2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 .pptx

第二章　 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3　直线与平面垂直的性质 2.3.4　平面与平面垂直的性质1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2.能运用性质定理解决一些简单问题； 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点一　直线与平面垂直的性质 思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中 的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 答案　平行. 答案 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 平行知识点二　平面与平面垂直的性质定理 思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直 线与地面垂直？ 答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在 黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直. 答案 文字语言 两个平面垂直，则___________垂直于______的直线与 另一个平面_____ 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，____，______⇒a⊥β 图形语言 返回 一个平面内 交线 垂直 a⊂α a⊥l题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　直线与平面垂直的性质定理 例1　 如图，在四棱锥P-­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD ，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB， MN⊥PC.证明：AE∥MN. 解　因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 反思与感悟 解析答案反思与感悟 证明线线平行的常用方法有： (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α ，a⊥AB.求证：a∥l. 证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 解析答案类型二　平面与平面垂直的性质定理 例2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD； 证明　由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD. 解析答案(2)AD⊥PB. 证明 由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG， 所以AD⊥PB. 解析答案反思与感悟反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法 是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直 的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要 注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平 面PBC.求证：BC⊥AB. 证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 解析答案类型三　线线、线面、面面垂直的综合问题 例3　 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC， DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD. 解析答案反思与感悟反思与感悟 证明　∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内， 作AE⊥BC于点E，如图，则AE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD. 又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE、BC⊂平面ABC， ∴CD⊥平面ABC， 又AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD. 又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD. ∴AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直， 最终达到目的，其转化关系如下：跟踪训练3　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证： (1)DE＝DA； 解析答案 证明　设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC， 所以DE＝DA.(2)平面BDM⊥平面ECA； 解析答案 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN. 又因为EC⊥面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE. 所以DM⊥平面AEC，所以面BDM⊥面ECA. (3)平面DEA⊥平面ECA. 证明 由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA. 证明　取CA的中点N，连接MN，BN， 返回1 2 3达标检测 　　　　 4 解析答案 1.已 知 △ABC所 在 的 平 面 为 α， 直 线 l⊥AB， l⊥AC， 直 线 m⊥BC， m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析　因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α， 同理可证m⊥α，所以l∥m. C1 2 3 4 解析答案 2.已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则(　　) A.l∥γ B.l⊂γ C.l与γ斜交 D.l⊥γ 解析　如图，在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n， 由于β⊥γ，γ∩β＝m， 所以OE⊥面β，所以OE⊥l， 同理OF⊥l，OE∩OF＝O， 所以l⊥γ. D1 2 3 4 3.已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的两个命题是(　　) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 解析　∵l⊥α，α∥β，m⊂β，∴l⊥m，故①正确； ∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确. D 解析答案1 2 3 4 解析答案 4.如图所示，在四棱锥S-­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底 面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC. 证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面SCD. 又因为BC⊂平面SBC， 所以平面SCD⊥平面SBC.规律与方法 1.垂直关系之间的相互转化2.平行关系与垂直关系之间的相互转化3.判定线面垂直的方法主要有以下五种 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理； ④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同 一平面， ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面，那么它也垂直于另一个平面， 返回