高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） .pptx

第三章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切 公式(一)明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角 和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的 求值、化简、计算等. 3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的 正用、逆用以及角的变换的常用方法. 明目标、知重点明目标、知重点 1.两角和与差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ . C(α＋β)：cos(α＋β)＝ . 2.两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ . S(α－β)：sin(α－β)＝ . cos αcos β＋sin αsin β 填要点·记疑点 cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β明目标、知重点明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？明目标、知重点 探究点一　由公式C(α－β)推导公式C(α＋β) 思考　由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换 成－β后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式 出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式 ？ 答　∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β， ∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β. 即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.明目标、知重点 思考　利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据 这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α， β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？ 探究点二　由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.明目标、知重点 即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β.明目标、知重点 思考　运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活 进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于 发现和利用. 探究点三　两角和与差的正弦、余弦公式的应用明目标、知重点明目标、知重点 解　原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)· sin(x－18°) ＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x) 例1　化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；明目标、知重点明目标、知重点 反思与感悟　解答此类题一般先要用诱导公式把角化正 化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式 子的结构选择公式.明目标、知重点 跟踪训练1　化简求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°·cos 74°； (2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)； 解　原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点 ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β明目标、知重点 反思与感悟　此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的 某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求 出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的 哪一种三角函数值.明目标、知重点 ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β明目标、知重点 例3　已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明　sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.明目标、知重点 反思与感悟　证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“ 等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差 异、函数名称的差异、结构形式的差异.明目标、知重点明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是(　　)A 解析　原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° 4明目标、知重点 解析　sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B 1 2 3 4明目标、知重点 答案　A 1 2 3 4明目标、知重点 ∴f(x)∈[－2,2]. [－2,2] 1 2 3 4明目标、知重点 1 2 3 4明目标、知重点 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 1 2 3 4明目标、知重点 呈重点、现规律 1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律 四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是 相同的，其内在联系为cos(α－β) cos(α＋β) sin(α＋β) sin(α－β)，这样我们 只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就 掌握了其他三个公式.明目标、知重点 对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”. 对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”. 2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β) 展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.明目标、知重点 3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变 换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系， 选用恰当的公式快捷求解.