人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.2 简单的线性规划问题 .1 探究导学课型 .ppt

3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 线性规划的基本概念 (1)约束条件：由变量的不等式(或方程)组成的_________. (2)线性约束条件：关于x，y的___________(或方程)组成的不 等式组. (3)目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解 析式. 不等式组 一次不等式 (4)线性目标函数：关于变量x，y的___________. (5)可行解：满足_____________的解(x，y). (6)可行域：所有_______组成的集合. (7)最优解：使目标函数取得_______________的可行解. (8)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的 _______________问题. 一次解析式 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 最大值或最小值 1.若实数x，y满足 则S=2x+y-1的最大值是    . 【解析】可行域为如图所示的阴影部分， 当可行解为A(2，3)时，Smax=6. 答案：6 2.已知实数x，y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是     . 【解析】如图，作出的阴影部分为可行域， 由 得 即A(3，6)，经过分析可知直线z=x-2y经过 A点时z取最小值-9. 答案：-9 3.满足 的平面区域图形为    . 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 由x=1平行于y轴而x-2y=-1与x轴不平 行，知四边形ABCD为梯形. 答案：梯形 一、线性规划问题 已知实数x，y满足 求z=2x+y的取值范围.请思考 下面的问题： 探究1：此题中线性约束条件是   ，目标函数是   . 提示：线性约束条件是关于变量x，y的一次不等式组成的不等 式组，故此题中的线性约束条件为 目标函数是欲 求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式，故此题中的 目标函数为z=2x+y. 答案：  z=2x+y 探究2：目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？ 提示：由z=2x+y，得到y=-2x+z，该直线的斜率是-2，在y轴上 的截距是z，即z为直线在y轴上的截距. 探究3：如何求函数z=2x+y的取值范围？ 提示：作可行域如图阴影部分所示，求 函数z=2x+y的取值范围，只需求目标函 数的最大值与最小值，即求直线y=-2x+ z在y轴上的截距z的最大值与最小值， 如图，平移直线l，由图可知，当直线经过点A时，z有最大 值，当直线经过点B时，z有最小值.解 得A(5， 1)，所以zmax=2×5+1=11，解 得B(3，1)，所以 zmin=2×3+1=7.所以函数z=2x+y的取值范围是[7，11]. 【探究总结】解线性规划问题的关注点 (1)先确定线性约束条件及目标函数. (2)要确定目标函数的几何意义. (3)在求解目标函数的最值时，平移直线要做到规范、准确. (4)求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元 一次不等式进行变形，因为这样会扩大变量的取值范围. 【拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法 线性目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)中，当B≠0时， 这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上 的截距为 且随z变化的一族平行线，则把求z的最大值或 最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上 的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y= 再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就 是最优解. 二、非线性规划问题 探究1：式子x2+y2表示的几何意义是什么？式子(x-a)2+(y-b)2 呢？ 提示：x2+y2可以看成 所以x2+y2表示原点 与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.式子(x-a)2+(y- b)2，可以看成 所以(x-a)2+(y-b)2的几何 意义是点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方. 探究2：式子 表示的几何意义是什么？ 提示： 表示点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点连线的 斜率. 【探究总结】求非线性目标函数最值的关键   求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义， 然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值. 类型一 求线性目标函数的最值  1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是(  ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 2.(2014·浙江高考)若实数x，y满足 则x+y的取 值范围是     . 【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数 平移得最小值. 2.根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值， 即得x+y的范围. 【自主解答】1.选B.由z=2x-3y，得3y=2x-z，即y= 作出可行域如图所示，平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过点B时， 直线y= 在y轴上的截距最大，此 时z取得最小值.解方程组 得 即B(3，4)，代入直线z=2x-3y， 得zmin=3×2-3×4=-6，故选B. 2.作出不等式组 所表示的区域，如图所示： 令z=x+y，解方程组 得C(2，1)， 解方程组 得B(1，0). 平移直线z=x+y，经过点C使得z取最大值，即zmax=2+1=3， 当直线z=x+y经过点B时，z取最小值， 即zmin=1+0=1， 所以x+y的取值范围是[1，3]. 答案：[1，3] 【延伸探究】在题1中，求z=2x-3y的最大值. 【解析】由可行域可知当直线y= 经过C点时，直线y= 在y轴上的截距最小，此时z取得最大值.解方程组 得 即C(3，-2)，代入直线z=2x-3y， 得zmax=3×2-3×(-2)=12. 【规律总结】解线性规划问题的四个步骤 (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域. (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. (3)求：通过解方程组求出最优解. (4)答：根据所求得的最优解得出答案. 类型二 求非线性目标函数的最值  1.(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小 值为(  ) A.2 B.1 C. D. 2.已知 求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值. 【解题指南】1.本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数 形结合找出斜率的最值. 2.由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x，y)与点(-1，-1) 之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与 (-1，-1)距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方. 【自主解答】1.选C.作出可行域如图， 由图象可知当M位于点D处时， OM的斜率最小. 由 得 即D(3，-1)，此时OM的斜率为 2.作出可行域，如图所示， 设d=(x+1)2+(y+1)2，则它表示可行域内的点与定点E(-1，-1) 的距离的平方.由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点 E的距离最大. 由 解得B(3，4)， 由 解得C(2，1).所以 当x=3，y=4时，dmax=(3+1)2+(4+1)2= 41，当x=2，y=1时，dmin=(2+1)2+(1+1)2 =13，即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41，最小值为13. 【规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法 (1) 型求最值.根据 的几何意义，可转化为求可行域 内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率的最值. (2)(x-a)2+(y-b)2型求最值.根据(x-a)2+(y-b)2的几何意义，可 转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)两点间距离的平方的 最值. 【变式训练】已知 求： (1)z=x2+y2-10y+25的最小值. (2)z= 的取值范围. 【解析】作出可行域如图所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9). (1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离 的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在线段AC上， 故MN= 所以 所以z的最小值为 (2)z=2· 表示可行域内点(x，y)与定点 连线斜率的2倍，因为 所以z的取值范围是 类型三 根据目标函数的最值求参数  1.(2015·沈阳高二检测)实数x，y满足 若目标函 数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为    . 2.(2014·浙江高考)当实数x，y满足 时， 1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是     . 【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数 取得最大值4，结合图形可求得a. 2.先画出可行域，利用数形结合求解. 【自主解答】1.作不等式组 所表示的可行域如图所示， 即点A(a，a)， 作直线l：z=x+y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行 域上的点A(a，a)时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大 值，即zmax=a+a=2a=4，所以a=2. 答案：2 2.作出不等式组 所表示的 区域，由1≤ax+y≤4，由图可知， a≥0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1) 点取得最大值，所以a≥1，2a+1≤4，故 a的取值范围为[1， ]. 答案：[1， ] 【规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路   采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义， 画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数 的值或范围. 【变式训练】(2013·北京高考)设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0 =2，求得m的取值范围是(  ) 【解析】选C.作出可行域如图所示： 要使可行域存在，必有 10所对应的区域，根据几何概型的概率公式求解. 2.根据题意找出数列{an}的首项a1与公差d所满足的不等式组， 将其转化为线性规划问题求解. 【解析】1.选B.不等式组表示的平面区域如图所示， 由图可知满足条件的区域D为正方形区域，点A(a，b)满足 a+2b>10的区域为阴影部分，设区域D的面积为S，阴影部分的 面积为S′，则A满足a+2b>10的概率为 故选B. 2.可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知 化简为 求a4=a1+3d的最大值， 将其转化为 求z=x+3y的 最大值问题，不等式组表示的平面区 域如图所示. 由z=x+3y，得y= 平移直线y= 由图可知，当直 线y= 过点A时，z有最大值.由 得A(1， 1)，所以zmax=1+1×3=4，即a4的最大值为4. 【规律总结】线性规划问题在数学中的应用及其关注问题 (1)主要应用方面：不等式、概率、数列、向量等. (2)线性规划问题在数学中的应用非常广泛，且越来越新颖、 灵活、实用性更强.对此主要把握以下三点： ①解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确， 图上操作尽可能规范； ②要对数学模块知识理解深刻，且了解模块与模块之间的深层 联系； ③要在平时学习中不断总结、归纳和积累. 【变式训练】已知P(x，y)在由不等式组 确定的 平面区域内，O为坐标原点，点A(-1，2)，则 cos∠AOP的 最大值为     . 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 考虑向量数量积及其几何意义， 因为 所以 要求 cos∠AOP的最大值，需要求-x+2y的最大值， 令z=-x+2y，于是转化为求线性目标函数最值问题.平移直线 -x+2y=0，由图可知当直线z=-x+2y过点B时，z有最大值， 由 得B(1，2)，所以zmax=-1×1+2×2=3，所以 cos∠AOP的最大值为 答案：