第2课时
简单线性规划的应用
【题型探究】
类型一 实际问题中的最小值问题
【典例】1.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石
的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量
不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百
万元.
a b(万吨) c(百万元)
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
2.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲
种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设
备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲
每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.
现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所
需租赁费最少为多少元？
【解题探究】1.典例1中体现不等关系的关键词有哪些
？
提示：“至少要生产1.9万吨铁”中的“至少”；“CO2的
排放量不超过2万吨”中的“不超过”；“购买铁矿石的最
少费用”中的“最少”.
2.典例2中的条件较多，如何把约束条件准确地列出来？
提示：把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中，
直观体现.
A类(件) B类(件) 费用(元)
甲设备(台) 5 10 200
乙设备(台) 6 20 300
产品量(件) 50 140
【解析】1.可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为
目标函数为z=3x+6y，画出不等式组表
示的平面区域如图.
当目标函数经过点(1，2)时目标函数
取最小值，最小值为zmin=3×1+6×2=15.
答案：15
2.租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品情况如下表：
A类产品(件) B类产品(件) 租赁费(元)
甲设备(台) 5 10 200
乙设备(台) 6 20 300
产品量(件) 50 140
设租赁甲设备x台，乙设备y台，租赁费为z元，
根据题意得
z=200x+300y，
作出可行域如图(阴影部分的整数点)所示：
作直线l0：2x+3y=0，平移该直线l0，过A时z取最小值，
由 得A(4，5)，符合实际意义，
则zmin=4×200+5×300=2300(元).
答：所需租赁费最少为2300元.
【方法技巧】有关成本最低，费用最少问题的解题技
巧
(1)最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小
值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、
最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的
最优解有无数多个.
(2)四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足
一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四
舍五入，否则有可能使近似值对应点超出可行域，而
导致所求解无意义.
【拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，
因此认真审题非常重要.
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如
x，y为正整数、非负数等.
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件
一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式.
【变式训练】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙
两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2
辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.
今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，问这两家工厂各
工作几小时，才能使所用的总工作时数最少.
【解析】设A厂工作x小时，B厂工作y小时，总工作时
数为T小时，则它的目标函数为T=x+y且
可行域如图.
由图知当直线l：y=-x+T过Q点时，纵截距T最小，
解方程组 得Q(16，8)，
答：A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所用的总工
作时数最少.
类型二 实际问题中的最大值问题
【典例】1.(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种
产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原
料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、
乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天
可获得最大利润为( )
A.12万元 B.16万元
C.17万元 D.18万元
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
2.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品
搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研
制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来
决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品
A(件)
产品
B(件)
研制成本与搭载实验
费用之和(万元/件)
20 30 计划最大资金
额300万元
产品质量(千克/件) 10 5
最大搭载质量
110千克
预计收益(万元/件) 80 60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使
总预计收益达到最大？
【解题探究】1.典例1中应按照怎样的思路求出最大利
润？
提示：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
利润为z万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到
目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平
移法求出z的最大值.
2.典例2中如何根据表格分析约束条件和目标函数？
提示：在表格横行观察第一行得到研制新产品A，B所
需费用的资金限制条件；第二行得到研制新产品A，B
搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数.
【解析】1.选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x
吨，y吨，利润为z万元，则 目标函数为
z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的
平面区域(阴影部分)即可行域.
由z=3x+4y得y=
平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过
点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，
解方程组
即A的坐标为(2，3)，
所以zmax=3x+4y=6+12=18.
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产
生最大的利润，最大的利润是18万元.
2.设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y.
作出可行域，如图.
作出直线l0：4x+3y=0并平移，
由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，
即M(9，4)，
即搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大.
【延伸探究】
1.(改变问法)典例1中的所有条件不变，则每天生产甲、
乙两种产品的吨数分别是多少时，该企业每天可获得
最大利润，并求此最大利润.
【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
利润为z万元，
则
目标函数为z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)
即可行域.
由z=3x+4y得y=
平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过
点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，
解方程组
即A的坐标为(2，3)，故每天生产甲、乙两种产品分别为
2吨和3吨时，该企业每天可获得最大利润，此时最大利
润为zmax=3x+4y=3×2+4×3=18(万元).
2.(变换条件)典例1中若将“生产1吨甲、乙产品可获利
润分别为3万元、4万元”改为“生产1吨甲、乙产品可获
利润分别为4万元、3万元”，其他条件不变，结果如何
？
【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
利润为z万元，
则
目标函数为z=4x+3y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)
即可行域.
由z=4x+3y得y=
平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过
点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大，
解方程组 即A的坐标为(2，3)，
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生
最大的利润.
【方法技巧】解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确
理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量
有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺
题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将
实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
(4)作答——对应用题提出的问题作出回答.
【补偿训练】某公司计划2016年在A，B两个电视台做
总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万
元.A，B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟
和200元/分钟，假定A，B两个电视台为该公司所做的
每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和
0.2万元.问公司在A，B两个电视台做广告的时间分别
为多少分钟时，公司能获得最大收益？
【解题指南】设公司在A，B两个电视台做广告的时间
分别为x分钟和y分钟，由题意列出x，y的约束条件和
目标函数，然后利用线性规划的知识求解.
【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别
为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
目标函数z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图阴影部分.
作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数
取得最大值.
所以点M的坐标为(100，200).
答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做
200分钟广告时，公司的收益最大.
【延伸探究】
1.(改变问法)若本题的条件不变，求分配在两个电视
台做广告的时间应分别为多少时，公司能获得最大收
益，最大收益为多少？
【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别
为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
目标函数z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图阴影部分.
作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取
得最大值.
则zmax=3000×100+2000×200=700000.
答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200
分钟广告，公司的收益最大，最大收益为700000元.
2.(变换条件)若将本题中的“能给公司带来的收益分别
为0.3万元和0.2万元”，改为“能给公司带来的收益分
别为0.4万元和0.2万元”，又如何求解？
【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别
为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
目标函数z=4000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图阴影部分.
作直线l：4000x+2000y=0，即2x+y=0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取
得最大值.联立
所以点M的坐标为(100，200)，
所以zmax=4000×100+2000×200=800000.
答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200
分钟广告，公司的收益最大，最大收益是80万元.
类型三 线性规划的整数解问题
【典例】1.某公司用两种机器来生产某种产品，第一
种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二
种机器则需5万日元及人民币20元的维护费.第一种机
器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台
有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且
公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到
最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器
应购买________台.
2.某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家
电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件
甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配
件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工
1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用
于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电
器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的
能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，
可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)
【解题探究】1.典例1中对于两种机器的取值有何限制
？
提示：两种机器数的取值应为整数.
2.典例2应从哪几个方面列出约束条件？
提示：应从每天外壳配件方面加工的能力，每天电器
方面加工的能力，每天装配加工的能力三个方面列约
束条件.
【解析】1.设第一种机器购买x台，第二
种机器购买y台，总的年利润为z万日元，
则 目标函数为z=9x+6y.
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点.
当直线z=9x+6y经过点 即到达l1位置时，z取
得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，
调整到与M邻近的整数点(33，7)，此时z=9x+6y取得最
大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台较
好.
答案：33 7
2.设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，
获取的利润为z百元，则z=2x+y，满足
作出可行域如图阴影部分的整点：
由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)， D(4，0)
平移直线y=-2x+z，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大
值.
答：工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造
甲种家电4件，可获利最大.
【延伸探究】典例2中，若将甲种家电的利润改为“100
元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？
【解析】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，
y件，获取的利润为z百元，则z=x+2y，满足
目标函数变形为 由可行域知当目标函数过点
B(2，3)时目标函数取最大值，工厂每天制造甲种家电
2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax=8(百元).
【方法技巧】寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最
先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法
应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，
当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将
整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整
点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最
大(小)值.
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整
最优值，最后筛选出整点最优解.
【变式训练】(2015·张家界高二检测)我市某玩具公
司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备
每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产
20个.每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具
每个所需工时(分钟)和所获利润如下表：
(1)用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利
润ω(元).
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利
润是多少？
玩具名称 A B C
工时(分钟) 5 7 4
利润(元) 5 6 3
【解析】(1)由题意ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
(2)由题意，约束条件为
可行域如图中的整点所示.
解方程组得 点M的坐标
为(20，60)，
所以ωmax=2x+3y+300=520(元).
答：每天生产A玩具20个，B玩具60个，C玩具20个，才
能使每天的利润最大，最大利润是520元.
【补偿训练】某公司招收男职员x名，女职员y名，x和
y需满足约束条件 求目标函数z=10x+10y
的最大值.
【解析】画出不等式组 表示的平面区域
如图：
而由题意知x和y必须是正整数.直线y=-x+ 由A点向下
平移经过的第一个整点为(5，4).
所以z=10x+10y的最大值为90.
规范解答 线性规划解决实际应用问题
【典例】(12分)(2015·南昌高二检测)某玩具生产公
司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，
生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产
一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若
生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6
元，生产一个伞兵可获利润3元.
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的
利润w(元).
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利
润是多少？
【审题指导】(1)要用卫兵个数x与骑兵个数y表示每天
的利润w(元)，需首先表示出伞兵的个数为100-x-y.
(2)要求得最大利润，需要先列出约束条件为
转化为求目标函数的最值问题.
【规范解答】(1)依题意每天生产的
伞兵个数为100-x-y，
所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
………………………………………………………3分
(2)约束条件为
……………………………………………5分
整理得
目标函数为w=2x+3y+300.…………………7分
作出可行域，如图所示：
初始直线l0：2x+3y=0，
平移初始直线经过点A时，
w有最大值.
…………………………………………………10分
最优解为A(50，50)，
所以wmax=550(元).……………………………11分
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，
伞兵0个时利润最大为550元.
…………………………………………………12分
【题后悟道】
1.线性约束条件的完备性
解决线性规划问题的前提是建立线性约束条件，进而
画出可行域，如本例在求解中易漏掉条件“x，y∈N”.
2.确保作图的准确性
画图对解决线性规划问题至关重要，作图应要求准确，
图上操作要求规范，如本题中图上标出各个直线方程
以及交点.
3.注意最优解的求解策略
在求最优解的过程中，平移直线要注意线性目标函数
的斜率与可行域中边界直线斜率进行比较，确定最优
解，如本例若把直线：2x+3y=0，x+3y=200，x+y=100
间的斜率关系判断错误，则直接影响最优解的求解.
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