第2课时 简单线性规划的应用
在实际问题中常遇到两类问题：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件
下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理地安排和规划
能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.
下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直
观解决一些简单的实际问题；(重点）
2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；
3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提
高学生数学建模和解决实际问题的能力.
一、用量最省问题
例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提
供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg
的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg
蛋白质,0.14 kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有
0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花
费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时
使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
探究点1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用
分析:将已知数据列成下表：
0.070.140.105
0.140.070.105
B
A
脂肪/kg蛋白质/kg碳水化合物/kg食物/kg
解:设每天食用x kg食物A, y kg食物B, 总成
本为z.那么x,y满足的约束条件是:
①
目标函数为z=28x+21y.
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，
即可行域.
②二元一次不等式组①等价于
x
O
y
M
由图知,当直线
经过可行域上的点M时,截距
最小, 即z最小.
解方程组
得M的坐标为
所以zmin=28x+21y=16.
答：每天食用食物A约143 g，食物B约571 g，
能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低
成本为16元.
解线性规划应用问题的一般步骤：
1.理清题意，列出表格；
2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）
与目标函数；
3.准确作图；
4.根据题设精确计算.
【提升总结】
铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的
CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b(万吨) c(百万元)
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放
量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为
________ (百万元)．
【变式练习】
15
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时
目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝
15.
例2 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规
格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数
如下表所示:
A规格 B规格 C规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
2
1
3
今需要A，B，C三种规格的成品分别15,18,27
块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这
两种钢板多少张可得所需A，B，C三种规格成品，
且使所用钢板张数最少？
规格类型
钢板类型
分析：列表
A规格 B规格 C规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
2
1
3
张数
成品块数
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共
需截这两种钢板共z张，则
线性目标函数
2x+y=15 x+3y=27x+2y=18
x
O
y
作出一组平行直线 z=x+y，当直线经过可行域上的
点M时，z最小.
作出可行域如图所示：
由于 都不是整数，而此问题中的最优解
中， 必须都是整数，所以点 不是最优
解.
解方程组 得
使截距z最小的直线为 ，
经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两
种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是
第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法
是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种截
法都最少要两种钢板12张.
两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提
供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待
因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格
最低？
成分
种类
阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)
A(毫克/片) 2 5 1 0.1
B(毫克/片) 1 7 6 0.2
【变式练习】
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图
形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直
线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，
因此z的最小值为11.
药片最小总数为11片．
同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，
因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格
最低．
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车
皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t、硝酸盐18 t；生
产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t、硝酸
盐15 t．现在库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t，在此基
础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关
系式，并画出相应的平面区域．若生产1车皮甲种肥料，
产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的
利润为5 000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少
车皮，能够产生最大的利润？
二、效益最佳问题
解：设生产x车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，能够
产生利润z万元，则目标函数为
分析：列表
4 18
1 15
甲种肥料
乙种肥料
磷酸盐(t) 硝酸盐(t）
总吨数
车皮数 利润(元
)10 000
5 000
y
xO 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
作出可行域，
得到斜率为-2，在y轴
上的截距为2z，随z变
化的一族平行直线.
答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生
最大利润，最大利润为3万元.
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品
1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产
乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.
每吨甲种产品的利润是600元，每吨乙种产品的利
润是1 000元. 工厂在生产这两种产品的计划中要
求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过
200 t、煤不超过363 t.甲、乙两种产品应各生产
多少吨，能使利润总额达到最大?
【变式练习】
将已知数据列成下表：分析：
A种矿石(t)
B种矿石(t)
煤(t)
甲产品(1 t)乙产品(1
t)
资源限额
(t)
利润(元)
10
5
4
600
4
4
9
1 000
300
200
363
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，
利润总额为z元，则
作出如图所示的可行域，
y
xO
10
10
解方程组：
答：甲、乙两种产品应各生产12 t,35 t，能使利润
总额达到最大，利润总额最大为42 200元.
得点
例4 若二次函数 的图象过原点，且
求 的范围.
探究点2 利用简单线性规划求变量的范围
作出如图所示的可行域，
由图可知，
将求变量范围的问题巧妙地转化为简单
的线性规划问题进行求解，减少了失误.
【提升总结】
.
【变式练习】
C
1.（2013·湖南高考）若变量
满足约束条件 ，
A． B． C． D．
（ ）
D
D
4.（2013·北京高考）设D为不等式组
表示的平面区域，区域D上的点与
点（1，0）之间的距离的最小值为___________.
1.设所求的未知数；
2.列出约束条件；
3.建立目标函数；
4.作出可行域；
5.运用图解法，求出最优解;
6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优
解.
一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：
二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.
人生是个圆，有的人走了一辈子也没有
走出命运画出的圆圈，他就是不知道，圆上的
每一个点都有一条腾飞的切线。
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