高一数学人教版A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程 .pptx

第四章　§ 4.1 圆的方程 4.1.2　圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位 置和半径的大小； 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点　圆的一般方程 思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什 么图形？ 答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4， 表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形. 答案思考2　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？ 答案 当D2＋E2－4F>0时，方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 D2＋E2－4F0 表示以 为圆心， 以 为半径的圆 返回题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　圆的一般方程的概念 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范 围，并写出圆心坐标和半径. 解　由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 反思与感悟 解析答案反思与感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有 如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不 表示圆， (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时， 要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是， 则要化为这种形式再求解.跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为________________； 解　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0) 解析答案(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1 ＝0对称，则该圆的面积为_____. 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， 解析答案 ∴该圆的面积为9π. 9π类型二　 求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的方程； 解　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解析答案 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解 由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0， 解得a＝2或6. 解析答案反思与感悟反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时， (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径 列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪训练2　求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6) 的圆的方程. 解　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解析答案类型三　与圆有关的轨迹方程 例3　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中 点M的轨迹方程. 解析答案反思与感悟反思与感悟 解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)， ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.反思与感悟 用代入法求轨迹方程的一般步骤返回 跟踪训练3　已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的 中点P的轨迹. 解析答案解　设动点P的坐标为(x，y)， 当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0). 当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2). 解析答案 ∵M，N在圆O上， 又∵点P为中点，又∵M，N，A，P四点共线， ∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0， 经检验，点(1,0)适合上式. 综上所述， 返回1 2 3达标检测 　　　　 4 5 解析答案 1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为(　　) A.(1,2) B.(1，－2) C.(－1,2) D.(－1，－2)　 解析　将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心 坐标是(1，－2). B1 2 3 4 5 解析答案 2.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　) A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0 解析　因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. C1 2 3 4 5 3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　) 解析　由D2＋E2－4F＞0， 得(－1)2＋12－4m＞0， B 解析答案1 2 3 4 5 解析答案 4.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆 心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程.1 2 3 4 5 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段AB的端点B的轨迹.1 2 3 4 5解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)， 由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y . ① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.规律与方法 1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点. 返回