第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位
置关系解决一些实际问题；
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
问题导学 题型探究 达标检测
学习目标问题导学 新知探究 点点落实
知识点 坐标法解决几何问题的步骤
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过 ，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
代数运算
返回答案题型探究 重点难点 个个击破
类型一 直线与圆的方程的应用
例1 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以
上高3 m，这条船能否从桥下通过？
反思与感悟 解析答案解 建立如图所示的坐标系.
依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
反思与感悟
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.反思与感悟
解决直线与圆的实际应用题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本
元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离
水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米.
解析答案解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖
直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，
圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，
水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，
将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ ，
∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝ 米.类型二 坐标法证明几何问题
例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切
于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
解析答案反思与感悟证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设|AB|＝2r，D(a,0)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
∴EF平分CD.
反思与感悟反思与感悟
(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题
的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题.
②通过代数运算，解决代数问题.
③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论.
(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.跟踪训练2 如图，直角△ABC的斜边长为定值
2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线
BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上.
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
解析答案类型三 直线与圆位置关系的应用
例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台
风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形
区域(如图).已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变
航线，那么它是否会受到台风的影响？
解析答案反思与感悟解 建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，
反思与感悟
即x＋2y－6＝0，
台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离
所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.反思与感悟
针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应
用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原
为实际问题.返回
跟踪训练3 设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出
发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆
周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为
3∶1，问A、B两人在何处相遇？
解析答案返回
解 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y
轴的正方向，建立直角坐标系，如图，
设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，
设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，
则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.
在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，1 2 3达标检测 4
解析答案
1.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡
车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m
解析 如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8，
B1 2 3 4
解析答案
2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以
每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区
将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约
为________h(结果精确到0.1 h).1 2 3 4
解析 以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则台风中心的移动轨迹是y＝－x，
受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
∴从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.
答案 2.0 6.61 2 3 4
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路
方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
解析答案1 2 3 4
解析答案
4.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若
A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________.
解析 如图，
A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}
表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，
要使A∩B＝∅，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，规律与方法
1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代
数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归
的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.
所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归
为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特
征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识
并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.
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