高一数学人教版A版必修二课件：4.3.1 空间直角坐标系 .pptx

第四章　 § 4.3 空间直线坐标系 4.3.1　空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系的建系方式； 2.掌握空间中任意一点的表示方法； 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点　空间直角坐标系 思考1　在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标 系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意 一点的位置，需要几个实数？ 答案　三个. 思考2　空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？ 答案　空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直. 答案1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴： ，这样就建立了一个 . (2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正 方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 答案 x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz x轴、y轴、z轴 两个坐标轴 每点O xOy yOz zOx x轴 y轴 z轴3.空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 来表示，_________________ 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M的 横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标. 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) (x，y，z) x y z 返回答案题型探究 　　　　重点难点 个个击破 类型一　求空间点的坐标 例1　(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5 ，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标. 解析答案解　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴， 以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz. 由题意知长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4， 显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)； D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)； A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)； C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4). 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)， ∴B1的横坐标为3，纵坐标为5， ∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4， ∴B1(3,5,4).(2)在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系. ①写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标； 解析答案 ②写出棱PA的中点M的坐标. 反思与感悟解　连接AC，BD交于点O，连接PO， 以O为坐标原点， OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ①正四棱锥P－ABCD各顶点坐标分别为 ② 因为M为棱PA的中点， 反思与感悟反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点 M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为 M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z). 反思与感悟(3)坐标平面上的点的坐标特征： xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0). yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z). xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z). (4)坐标轴上的点的坐标特征： x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0). y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0). z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).跟踪训练1　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、 BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ |CD|，H为C1G的中点，试建立适 当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标. 解析答案解　建立如图所示的空间直角坐标系. 点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0， 而E为DD1的中点， 过F作FM⊥AD、FN⊥DC， 点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z为0， 过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，类型二　已知点的坐标确定点的位置 例2　在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6). 解　方法一　第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位， 第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位， 第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P. 解析答案 方法二　以O为顶点构造长方体， 使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上， 且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P. 反思与感悟反思与感悟 已知点P的坐标确定其位置方法： (1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置. (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2　在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于(　　) A.xOz平面内 B.yOz平面内 C.y轴上 D.z轴上 解析　因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内. 解析答案 A类型三　空间中点的对称问题 例3　求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标. 解析答案反思与感悟 解　过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1). 过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B， 使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)， ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)， 关于x轴对称的点为B(1，－2,1).反思与感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记： (1)A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)， 关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)， 关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z). (2)A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z). (3)A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)， 关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)， 关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z). 关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“ 关于谁对称谁不变，其余的相反”.跟踪训练3　已知点P(2,3，－1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； 解　设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′， 则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同， 而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数. 所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1). 同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为 (－2,3，－1)，(2，－3，－1). 解析答案返回 (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； 解　设点P关于x轴的对称点为Q， 则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同， 而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的 坐标互为相反数. 所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1). 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为 (－2,3,1)，(－2，－3，－1). 解析答案 (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标. 解　点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).1 2 3达标检测 　　　　 4 5 解析答案 1.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　) A. B.|a| C.|b| D.|c| 解析　点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|. D1 2 3 4 5 解析答案 2.点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是(　　) A.(4,2,2) B.(2，－1,2) C.(2,1,1) D.(4，－1,2)　 解析　设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)， C1 2 3 4 5 3.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射 影的点的坐标是__________.(0,2，－3) 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知， 点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3). 解析答案1 2 3 4 5 解析答案 4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为____________；点P1关于 z轴的对称点P2的坐标为________________. 解析　点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)， 点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1). (1,1，－1) (－1，－1，－1)1 2 3 4 5 解析答案 5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解　以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).规律与方法 1.空间中确定点M坐标的三种方法： (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标， 再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标. (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的 位置，可以确定点M的坐标. (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或 坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反 ”这个结论. 返回